同济大学线性规划教案
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第一章线性规划
标准型线性规划(LP):
min f = c1X1+……c j X j……+c n X n =Σc j X j s.t a11x1+…+a1j x j+……+a1n x n = b1 …………………
a i1x1+…+a ij x j+……+a in x n =
b i
…………………………
a m1x1+…+a mj x j+……+a mn x n =
b m
x j≥0, j=1,……,n.
C=
1
j
n
c
c
c
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
X =
1
j
n
x
x
x
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
b=
1
i
m
b
b
b
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
A=
1
111
1
1
j n
ij
i in
mj
m mn
a
a a
a
a a
a
a a
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
min f=C T X
s.t AX=b
x≥0
min f = c1X1+……c j X j……+c n X n =Σc j X j s.t a i1x1+…+a ij x j+……+a in x n = b i i=1,……,m x j≥0, j=1,……,n.
在几何直观上告诉我们，若两个变量的线性规划问题的最优解存在且唯一，则最优解必为可行域K的一个顶点，而K为凸多边形．
对于目标函数求min的两个变量的线性规划，根据目标函数的等值线与可行域K的各种关系，我们可以得知它的解可能会出现以下几种情况．
(1)最优解存在且唯一．这时，K是一个非空的、有界或无界的凸多边形，最优解X*必为K 的一个顶点，最优值f*为一个有限值。
(2)最优解x*存往但不唯一．这时，K是一个非空、有界或无界的凸多边形，最优值f*是一个有
限值，f的等值线c1x1+c2x2= f*与K之交是K的一个边界，网此该边界上的点都为最优解；但是，我们至少可以取到K的一个顶点为最优解。
(3)可行解存在但目标函数值在K内无下界(简称线性规划无下界)．这时，K必是一个非空无界的凸多边形，最优解不存在，minf→∞
(4)可行解不存在(或称线性规划不可行)．这时，K为空集。
通过以上各种情况的分析，关于2个变量的线性规划的解，我们可以得到以下两点结论：
①如果K≠ (空集)，则K必是x1ox2坐标平面第一象限内的一个凸多边形(今后，在线性
规划理论中，称为凸集)，K的顶点一定存在．
②如果最优解X*存在，则最优解中至少有一
个为K的顶点．
（请学生看书第9页，请教师朗读书上这些结论）
§1．3基本可行解 非基本变量（独立变量） 基本变量 （非独立变量） 基本解 基本可行解
基 B —若│B │≠O ，称B 为（LP ）的一个基。 Min f = c 1X 1+……
c j X j ……+c n X n =Σc j X j
s.t a i1x 1+…+a ij x j +……+a in x n = b i I=1,……,m
x j ≥0, j=1,……,n.
令
C =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡n
c c 1
b=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡m
b b 1
X=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡n
x x
1
A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡mn
n mj j m a a a a a a 11111 B=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡m m
mB
B mB B a a a a
1111
min f=C T X s.t AX=b
x ≥0
A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡mn
n
mj j m a a a a a a 11111
I B 对应的基本矩阵B ：
B=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡m
m
mB B mB B a a a a 1111 矩阵B 为基本变量x B 1
,…， x Bm 在A 矩阵中
的系数列向量。
a i1x 1+…+a ij x j +……+a in x n =
b i I=1,……,m
w+ c 1X 1+…… c j X j ……+c n X n =0
当I B 给定时，将上述方程组变换为典型方程组：
x Bi +0•w +……+y ij X j +…… = i b , i=1,……,m w +……+ r j X j + …… =–f 。
i B x + D
ij j j I y x ∈∑ = b i,
w +∑∈D
I
j r j X j =–f 。 -f （X ）+∑∈D
I
j r j X j = –f 。= f （X 。） f （X ）= f （X 。）+∑∈D
I
j r j x j