(整理)二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告

注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。

西安文理学院数学系本科毕业论文进度表

分类号：

西安文理学院数学系学士学位论文

二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论

系院名称数学系

指导老师胡洪萍

学生姓名韩晓莉

学生学号 021********

专业、班级数学与应用数学06级2班

提交时间二〇一〇年五月二十一

西安文理学院数学系

二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论

韩晓莉

（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）

摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细

的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.

关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微

多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.

1 二元函数连续、偏导、可微的定义

定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要

0(;)

P U P D δ∈，就有

0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续.

若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.

定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量

()()0000,,y x f y x x f -∆+

如果极限()()

x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000

,,lim

存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点

),(00y x 处对x 的偏导数.

如果函数()y x f z ,=在区域D 内每一点()y x ,处对x (或对y )的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数()y x f z ,=对自变量x （或对y ）的偏导函数.

定义3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于

()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 ()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,

其中A,B 是仅与点0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微，并称上式中关于x ∆，y ∆的线性函数A x ∆＋B y ∆为函数f 在点0P 的全微分，记作

()y B x A y x df ∆+∆=00, .

2 二元函数的连续性

一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数()y x f ,来说，即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数

()00,y x f x ，又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ，()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.

不过，我们却有如下定理：

定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点

()000,y x P 连续.

证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则

()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+

= ()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+ (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使

()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ

将它代入(1) 式, 得

()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+

= ()()()000000,,,y x f y y x f x y y x x f x -∆++∆∆+∆+θ . (2) 由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当

()()0,0,→∆∆y x 时, 有

()y y x x f x ∆+∆+00,x ∆→0.

又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有

()()0000,,y x f y y x f -∆+→0.

所以, 由(2) 知, 有