分段函数的连续性

分段函数的极限和连续性

例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)

21( 1)1( 2

1)10( )(x x x x x f

（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？

（2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？

（3）确定函数）x f (的连续区间．

分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1

1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1

1==++→→x x x f ∴1)(lim 1

=→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限．

（2）)(lim 21)1(1

x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续．

（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．

说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0

00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性

例 已知函数2

4)(2+-=x x x f ，

（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ；

（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．

分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(0

0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ．

因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,

当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图．

（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ．

（3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f

所以4)2(lim )(lim 2

2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为

⎪⎩

⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．

说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．

利用函数图象判定方程是否存在实数根

例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根． 分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可．

解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．

又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．

所以方程01523=+-x x 有实数根．

说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．

函数在区间上的连续性

例 函数2

4)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？ 分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续． 解：22

4)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ） 任取200<

0x f x x x f x x x x =+=+=→→ ∴ )(x f 在（0，2）内连续．

但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续．

从而)(x f 在[]2,0上不连线

说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．

函数在某一点处的连续性

例 讨论函数)0()11lim ()(+∞<≤⋅+-=∞→x x x x x f n n n 在1=x 与2

1=x 点处的连续性

分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想． 明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．

讨论)(x f 在1=x 与2

1=

x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证． 由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．

解：（1）求)(x f 的表达式：

①当1

n n

n =⋅+-=⋅+-=∞→∞

→0

101lim 1lim 1)( ②当1>x 时，x x x x

x x f n n x -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )( ③当1=x 时，01111lim )(=⋅+-=∞→x x f n

n

x ∴⎪⎩

⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(

（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：

1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1

111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x ∴)(lim 1

x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续 （3）讨论)(x f 在2

1=x 点处的连续性： 21lim )(lim ,21lim )(lim 2

1212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x