不等式的几个性质

不等式的几个性质
不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷性的关键。

这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质，以供参考。

1．乘方、开方性质 1）若b a >，则有：
①121
2++>n n b a
； ②)(1212N n b a n n ∈>++。

2）若b a >>0，则)(22N n b a
n n
∈<。

3）若b x a <<<2
0，则a x b -<<-或b x a <<。

2．取倒数性质
1）若0>>b a 或b a >>0，则b
a 11<。

2）若
b x a <<<0或0<<<b x a ，则a
x b 1
11<<。

3．取绝对值的性质 1）b a b a >⇔>2
2。

2）若b x a <<，且0,0><b a ，①当a b ->时，有b x <；②当a b -<时，有a x <。

4．有关分数的性质
若+
∈R m b a ,,，且b a >，则 1）真分数的性质： ①
m a m b a b ++<； ②)0(>--->m b m a m
b a b 。

2）假分数的性质： ①
m b m a b a ++>； ②)0(>---<m b m
b m
a b a 。

说明：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。

2）是假分数的
性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。

以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。

对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。

不等式的性质
例1 比较2
3x +与x 3的大小，其中R x ∈．
解：x x 3)3(2
-+332+-=x x 3)23(])23(3[222+-+-=x x 43)23(2
+
-=x 04
3
>≥， ∴ x x 332
>+．
说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①b a b a >⇔>-0；
②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．
例2 比较16+x 与2
4x x +的大小，其中R x ∈
解：)()1(2
4
6
x x x +-+12
46+--=x x x )1()1(2
2
4
---=x x x )1)(1(4
2
--=x x
)1)(1)(1(222+--=x x x )1()1(222+-=x x
∴ 当1±=x 时，2
4
6
1x x x +=+；当1±≠x 时，.12
4
6
x x x +>+
说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
例3 R x ∈，比较)12)(1(2
++
+x x x 与)2
1
(+x （12++x x ）的大小． 分析：直接作差需要将)12)(1(2
+++x x x 与)2
1(+x （12++x x ）展开，过程复杂，
式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．
解：∵)12)(1(2
++
+x x x =)1(+x （122+-+x x x ）)1(2
)1)(1(2+-+++=x x
x x x ，
)1)(211()1)(21(22++-+=+++x x x x x x )1(2
1
)1)(1(22++-+++=x x x x x ，
∴ )1)(21()12)(1(22
+++-+++x x x x x x 02
1)1(21)1(212>=+-++=x x x x ．
则有R x ∈时，)12)(1(2
+++x x x >)2
1(+x （12++x x ）恒成立．
说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到
比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．
例4 设R x ∈，比较
x
+11
与x -1的大小． 解：作差x
x x x +=--+1)1(112
， 1）当0=x 时，即012=+x x ，∴ x x
-=+111
； 2）当01<+x ，即1-<x 时，012<+x x ，∴x x
-<+111
； 3）当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或0>x 时，012>+x x ，∴x x
->+111
． 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对
字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．
例5 比较1618与18
16的大小
分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。

解：16
16162
161816)2
89()21()89(161)1618(1618=== .
1618,016,1)2
89()
1,0(2
89
18161816
＜＞＜∴∴∈
说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．
例6 设0,0＞＞b a ，且b a ≠，比较：b
a
b a ⋅与a
b
b a 的大小。

分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。

解：b a a
b b a a b b a b a b
a b
a b a ---==)( 当0＞＞b a 时，0,1＞＞b a b a
-，1)
(＞b
a b
a -∴ 当0＞＞a
b 时，0,10＜＜＜b a b a
-1)
(＞b
a b
a -∴
1)(＞b
a b
a -∴即1＞a
b b a b a b a ，
又0＞a
b
b a ，a
b
a
a
b a b a ＞∴
说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 例7 实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③
()()0<--d b d a ，则有( )
A ．b d c a <<<
B ．d b a c <<<
C ．d b c a <<<
D ．b d a c <<<
（天津市2001年南开中学期末试题）
分析：先由条件②③分析出b a 、与d c 、的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．
解：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧
∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧∵d c b a <<, ∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况
由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．
例8 已知①11≤+≤-b a ；②31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范围．
分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式b a -3用b a +和b a -表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定b a -3的范围．
解：设：b y x a y x b a y b a x b a )()()()(3-++=-++=-
⎩
⎨⎧==∴⎩⎨
⎧-=-=+∴21
13y x y x y x 由①+②×2得：231)(2)(21⨯+≤-++≤+-b a b a
即：731≤-≤b a ．
说明：此题的一种典型错误做法，如下：
,31,11≤-≤≤+≤-b a b a 420≤≤∴a ，即：20≤≤a 0
241
3,11≤≤-∴-≤-≤-≤+≤-b a b b a
即：02≤≤-b
8
30,
20,630≤-≤∴≤-≤≤≤∴b a b a
此解法的错误原因是因为a 与b 是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当b a +取到最大值或最小值时，b a -不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程． 例9 判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）若2
2
bc ac >，则.b a >（2）若b a >，则.11b
a < （3）若0,<<c
b a ，则
.b
c
a c <（4）若d c
b a >>,，则.d b
c a ->- （5）若c a b a >>>,0，则.2
bc a >（6）若+∈>N m b a ,，则.m
m
b a > 分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．
解：（1）⇒≠⇒>02
22c bc ac b a bc ac c >⇒⎪⎭
⎪⎬⎫>>22201，是真命题．
（2）可用赋值法：2,3-==b a ，有b
a 1
1>，是假命题． 也可这样说明：
ab
a
b b a -=
-11，∵ b a >，只能确定0<-a b ， 但ab 的符号无法确定，从而b a 11-的符号确定不了，所以b
a 1
1<无法得到，实际上有：
.1
10,b a ab b a <⇒>>
.1
10,b
a a
b b a >⇒<>
（3）与（2）类似，由⇒/<b a b
c a c c b a <⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
<>011，从而b c
a c
b a <⇒/<是假命题．
（4）取特殊值：.3,2,1,5-====d c b a 有d b c a -<-，∴ 是假命题． 定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即.,d b c a d c b a ->-⇒<>
（5）bc a bc ab b c a ab a a b a >⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫>⎭⎬⎫>>>⇒⎭⎬⎫>>>2
2
000， ∴是真命题．
（6）定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
2,4,3=-==m b a ，则有.m m b a <
说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．
例10 求证：.0,01
1,
<>⇒>>b a b
a b a 分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得
00011110
<⇒⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
<-⇒<-⇒>>-⇒>ab ab b a a b b a b a b a ，.0,0异号,<>⇒⎭⎬⎫>b a b a b a 例11 若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（ ） （A ）c b d a +>+ （B ）bd ac > （C ）
d
b
c a > （D ）b c a
d -<- 解：由不等式的性质知：（A ）、（B ）、（C ）成立的条件都不充分，所以选（D ），其实（D ）
正是异向不等式相减的结果．
.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭
⎬⎫
<⇒>-<-⇒>
说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．
例12 若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）． （A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<- （C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<-
分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-，
0<β-α，继而得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．
例13 若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）
A ．c b c a >
B ．ac ab >
C ．c b c a ->-
D ．c
b a 1
11<< 分析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正
负号的关系，所以也不对．
故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立． 说明：这类题可以采用特例法：令0=c 即得C 成立． 例14 已知：0<c f e b a ，＞，＞，求证：bc e ac f --＜．
分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
证明：，＞，＞，＞bc ac c b a ∴0 ．＜bc ac --∴ 又，＜e f ∴由同向加性可得：bc e ac f --＜．
说明：此题还可采用异向减性来处理：．＜，＞，＜bc e ac f bc ac e f --∴做这类题过
程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．
例15已知集合{
}{}
,,2||145|A 2
A y y x x
B x x x R I ∈-==--==，＜０，求：
B A ⋂．
分析：要求B A ⋂，需要先求集合A 和B ，从已知来看，A 的范围容易求，B 的元素由A y ∈可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：,01452
R I x x =<--且 .72<<-∴x
{}
{}.7201452<<-=<--=∴x x x x x A
.72,<<-∴∈y A y ,2||.524-=<-<-∴y x y .5||,5||4<∴<<-∴x x
.55<<-∴x
{}.55<<-=∴x x B }.52{<<-=⋂∴x x B A
说明：本题中的条件R I =，意在明确集合A 中的元素为R ，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，72<<-x 的实数和72<<-x 的整数显然是有区别的．另外，这里集合B 的元素是通过集合A 的元素求出的，解题时，一定要看清．
例16 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和
b
a 1
1>同时成立的充要条件． 分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则b a >成立的条件就是b a >本身；而b
a 1
1>成立的条件则是a 与b 同号，且b a <，但这个条件只是
b
a 1
1>的一个充分条件，并且与第一个不等式b a >是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．
解：先求b a >，b a 11>同时成立的必要条件，即当b a >，b
a 1
1>同时成立时，a 与b 应具备什么条件．
由⎪⎩⎪⎨⎧>>b a b a 11,，得⎪⎩⎪
⎨⎧>->-.0,
0ab
a b b a
由0>-b a 可知0<-a b ，再由0>-ab
a
b 知0<ab ，即a 与b 异号，因此b a >>0是不等式b a >与
b a 1
1>同时成立的必要条件． 再求b a >，b
a 1
1>同时成立的充分条件．
事实上，当b a >>0时，必有b a >，且
01,01<>b a ，
因而b
a 1
1>成立．从而b a >>0是不等式b a >，
b
a 1
1>同时成立的充分条件． 因此，两个不等式b a >，b a 1
1>同时成立的充要条件是b a >>0．
说明：本题结果表明，b a >与b
a 1
1>同时成立，其充要条件是a 为正数，b 为负数．这
与b a 1
1>成立的条件0>ab ，a b >不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若b a >，b a 11>同时成立，则要研究从不等式b
a 1
1>和b a >看a 与b 的大小有什么关系，从中得出
结论（b a >>0），再把这个结论作为一个充分条件去验证b a >及b
a 1
1>能否同时成立．
从而解决了本题．
例17 已知函数c ax x f -=2
)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 应满足（ ）
（A ）26)3(7≤≤-f （B ）15)3(4≤≤-f （C ）20)3(1≤≤-f （D ）3
35)3(328≤≤-
f 分析：如果能用)1(f 与)2(f 将)3(f “线性”表示出：)2()1()3(nf mf f +=，就可利用不等式的基本性质，由)1(f 、)2(f 的取值范围，推出)3(f 满足的条件．
解：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-= ∴)]1(4)2([3
1)],1()2([31
f f c f f a -=-= 故)]1(4)2([3
1)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-= )1(3
5
)2(38f f -=
由不等式的基本性质，得
.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-⇒⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫
≤
≤-⇒≤≤-≤-≤⇒
-≤≤-f f f f f 故选（C ）.
说明：（1）也可设)2()1()3(nf mf f +=，由代定系数法求得35-=m ，3
8
=n ． （2）下面的错误是值得引以为戒的∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-=
⎭
⎬⎫
≤-≤-⇒≤≤-≤-⇒-≤-≤-⇒-≤≤-5415)2(14141)1(4c a f a c c a f 714130930≤≤⇒⎭
⎬⎫
≤-≤≤≤⇒≤≤⇒c a c a a
又 .9)3(c a f -=
∴
.26)3(7171,279030≤≤-⇒⎭
⎬⎫
-≤-⇒≤≤≤≤⇒≤≤f c c a a
故选（A ）
上述推理错误产生的原因是由于将条件
⎩⎨⎧≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f 化为⎩⎨
⎧≤≤≤≤7
13
0c a 使a 、c 的取值范围扩大所致．事实上，作为点集
与{}
7
11,30),(≤≤≤≤=a c a N 之间的关系是
N M ⊆/，如图点集N 是图中乱世形OABD 所围成的区域，点集M 是由平行四边形MNBP
所围成的区域，这样就直观地表现了N M ⊆/，揭示了上述解法的错误．。