人教A版数学必修4 课件 平面向量 9

的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有 BC ＝λCE ，
其中 λ 等于( C )
A．2
B.12
C．－3
1 D．－3
【解析】如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝ 3 |BC|
60°，CE＝ 3 ，∴|CE|＝3，∴ BC ＝－3 CE .
2.在△ABC 中，已知 A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，
由于 A R与 共A C 线，故设 rn(ab),n R ，
因为 EBABAEa1b,
2
又因为 ER与共EB线，
所以设 ERmEBm(a1b).
2
因为 A RA EE R ，
所以 r 1bm(a1b).
2
2
因 此 n(ab)1bm (a1b)，
2
2
即 (nm )a(nm 1)b0. 2
因 为 向 量 a , b 不 共 线 ,
所以A→B⊥B→C.所以∠ABC＝90°.
例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边
的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能 发现AR，RT，TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC D
F
C
T
E
R
A
B
【解析】设 A B a , A D b , A R r , 设 A C a b .
【互动探究】
用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所 示，已知灯具的重量为 10N，则每根绳子的拉力大小是
_1__0_N____．
【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所 成的角都相等，且等于 60°，故每根绳子的拉力都是 10N. 故填 10N.
例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m，
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系？
提示：夹角越大越费力.
思考1:若两只手臂的拉力为 F1，F2，物体的重力为 G, 那么 F1，F2，G 三个力之间具有什么关系？
提示: F1＋F2＋G 0.
思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：
（1）建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为 向量问题. （2）通过向量运算，研究几何 元素之间的关系，如距离、夹角 等问题. （3）把运算结果“翻译”成几 何元素.
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
解析： A→B2＝(O→B－O→A)2＝O→B2＋O→A2－2O→A·O→B， 又∵|O→B|＝10，|O→A|＝14， ∴A→B2＝100＋196－2×14×10×cos60°＝156， ∴|A→B|＝2 39. ∴此时甲、乙两人之间的距离为 2 39km.
1．已知点 A( 3，1)，B(0,0)，C( 3，0)，设∠BAC
提示:
DB a b, AC a b.
思 考 3利 用 a2,b1,a-b2,如 何 求 ab?
A C等 于 多 少 ？
提示:
由
ab
2, 得
2
ab
=4
| A C | a b
(a b)2
即（a b）2 4,
2
2
a 2a b b 4,
2
2
a 2a b b 4,
2
2
a 2a b b
①
6－2x0＝2y.
②
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y， 整理得 y＝2x，即为点 P 的轨迹方程.
1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基 底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算, 进而解决问题. 2.要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直； ③模；④夹角；⑤向量相等.
【变式练习】
在△ABC 中，若(C→A＋→ CB)·(C→A－→ CB)＝0，则△ABC
为( C )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】 ∵(C→A＋→CB)·(C→A－→CB)＝0，
∴C→A2－→CB2＝0，→CA2＝C→B2，∴CA＝CB，△ABC 为等腰
三角形．
微课2 利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解
2
增函数
思考4: | F1 |有最小值吗？| F1 |与|G |可能相等
吗？为什么？ G
提示: 0时，F1 最小，最小值为 ,
2
120时，F1 G.
用向量解力学问题 对物体进行受力分析 画出受力分析图 转化为向量问题
【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论 参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的 物理现象.
【解析】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
由R→A＝2A→P，得1－－y0x＝0＝2y2x－1， ，
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
∴1－x0＝2x－2，
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础, 也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点, 从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
微课1 （长度问题）
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关 系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方 和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，
AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？
提示：确定
D
C
A
B
思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 AB a，AD b 则向量DB 等于什么？向量 AC 等于什么？
则 BC 边的中线 AD 的长是( B )
A．2 5
5 B.2 5
C．3 5
7 D.2 5
B
4.已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P，求点 P 的轨迹方程． 【解题关键】代入法求轨迹方程
设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用 P的坐 标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简即 得。
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使 得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具 有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解 决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一
个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F,物体受到
的重力为 G.
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的 大小与两绳之间的夹角θ的关系？
1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、 垂直等问题. 2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全 等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算 及数量积表示． (重点、难点） 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解 模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的 步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加 深对所学向量的概念和向量运算的认识.（难点）
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解 决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
|v ||v 1 |2 |v 2 |29 6 ( k m /h ) ,
所 以 td0 .5 6 03 .1 (m in ). |v| 9 6
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.
【变式练习】
如图，已知甲、乙两人同时从 O 出发，甲行走 10 km 到达 B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角 为 60°，乙走了 14 km 后到 A 处，求此时甲、乙两 人之间的距离．
一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终 身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。
——邵谒
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
n m 0，
所以
n
m 2
1
0.
解得：n m=1.
3
所 以 A R1A C ,同 理 T C 1A C ,于 是 R T1A C .
3
3
3
故 A R R TT C .
【方法规律】
利用待定系数法，结合向量共线定理和平 面向量基本定理，将问题转化为求m，n的值， 是处理线段长度关系的一种常用手段.
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
【变式练习】
求证：直径所对的圆周角为直角．
[证明] 设A→O＝ a ，O→B＝ b ， 则A→B＝ a ＋ b ，O→C＝ a ，B→C＝ a － b ，
| a |＝| b |. 因为A→B·B→C＝( a ＋ b )·( a － b )＝| a |2－| b |2＝0，
5.平面向量知识结构图
向量的概念
平 面 向 量
向量的运算
向量的应用
定义
几何表示
表示方法
符号表示
向量的模
坐标表示 平行向量
向量间的关系
垂直向量 相等向量
平面向量基本定理
相反向量
加法法则
加法
运算性质
坐标运算
减法
减法法则 坐标运算
实数与向量的积
定义
向量的数量积
运算性质
坐标运算
向量共线定理
定义 运算性质 坐标运算
3.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
转化
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题
运算
通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题
翻译
把运算结果“翻译”成几何关系
4.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
那么| F1|，| G |，θ之间的关系如何？ F
提示:
|F1 |= 2c|oGs|θ， 2
θ
F1
F2
0 1 8 0
G
思考3:上述结论表明，若重力 G一定，则拉力的
大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这
个函数的定义域是什么？单调性如何？
提示:
| F1 |
|G
|
,
0 1 8 0
2 cos
2
2
a 2a b b 6.
所以a b 1 . 2
【即时训练】
在四边形ABCD中ABBC=0，且AB=DC，则四边形 ABCD是（B ）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模
型，如图，A C A B A D ,D B A B A D ,你能发现平行 四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度v1 =10km/h，
水流速度v2 =2km/h，问行驶航程最短时，所用的
时间是多少(精确到0.1 min)？
C
·B
D
A
C
B
·ห้องสมุดไป่ตู้
D
v v1
A
v2
分析：如图，已知v v1 v2， v1 10km/ h, v2 2km/ h， v v2，求t.
解 ： 由 已 知 条 件 得 v v 2 0 .
吗？
D
C
解：设ABa,ADb，
则ACab,DBab.
A
B
2
AC AC AC (a b)(a b)
aaabbabb
2
2
a 2ab b (1)
同 理 D B 2a2 2 abb2(2 )
注意这种求 模的方法
(1) (2)得
AC
2
2
DB
2
2( a
2
b)
2
2
2( AB AD ).
平行四边形两条对角线长的平方和等于两 条邻边长的平方和的两倍.