解析几何的最值

解析几何的最值求解策略
湖南省武陵源一中 高飞 (高级教师)邮编：427400 电话：
解析几何最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点。

解析几何最值有两类:一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值求解。

本文举例探求解析几何最值问题的求解策略
一 利用曲线的几何定义或问题的几何背景 例1(辽宁卷)已知F 是双曲线112
422
=-
y x 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，求
|PF|+|PA|的最小值。

解析:设右焦点为F '，由题设知F '坐标(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|-|P F '|=4，所以|PF|+|PA| =4+|P F '|+|PA|，∴由题设知要使|PF|+|PA|最小，只需|P F '|+|PA|最小即可，|P F '|+|PA|最小只需P, F ',A 三点共线，最小值即4+|F 'A|=4+954169=+=+。

点评：本题考查了解析几何的最值问题，关键是要运用双曲线的定义将P 到左焦点距离转化为P 到右焦点距离解决。

例2(四川卷)已知直线1l :0634=+-y x 和直线2l :1-=x ，求抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值
解析: 动点P 到直线2l :1-=x 的距离可转化为P ，F 的距离，作图可知距离之和的最小值即F 到直线1l 的距离22
23464==
++d
练习，已知动点()y x P ,在椭圆
122
=+
y x 上，若A 点坐标为(3，0)，1=，且
0=⋅的最小值
解析；由条件可知点M 轨迹是以A 为园心，1为半径的圆，又0=⋅AM PM 所以AM PM ⊥
所以12
2
2
2
-=-=PA AM PA PM 问题转化为求()y x P ,在椭圆上。

则[]c a c a PF +-∈,2≥的最小值为3。

例3(广东卷)已知曲线C ：2
x y =与直线02:=+-y x l 交于两点A,B ，记曲线C 在点A
和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D ，若曲线G ：
x 2-2ax+y 2-4y+a 2+2551
=0与D 有公共点，试求a 的最小值 解析:由x 2-2ax+y 2-4y+a 2+2551=0整理得∴=
-+-25
49
2
2)2()(y a x 曲线G 表示以点(a,2)为圆
心，半径为5
7的圆，即圆心是直线y=2上的一动点，作图分析知，曲线G 与D 有公共点且
a 取最小值时，圆G 应与直线02:=+-y x l 相切且a<2,()
711222
2=∴-++-a 且a<225
7-=∴a 即曲线G 与D 有公共点时a 的最小值为257-。

点评：本题关键在于找出a 取最小值时圆G 的位置。

二，通过建立目标函数，转化为函数最值求解
例4设椭圆121
2
=++y m x
的左，右焦点分别是F 1（-c,0）, F 2（c,0）若E 是直线2+=x y 与椭圆的一个公共点，求使得|EF 1|+|EF 2|取最小值时椭圆的方程。

解 由题意，知
m+1>1
即
m>0,把2+=x y 代入
121
2
=++y m x 得
()()()0131422=+++++m x m x m 。

由()()()12121162++-+=∆m m m =
()()0214≥-+m m ，解得2≥m 或1-≤m (舍去)2≥∴m 此时|EF 1|+|EF 2|=3
212≥+m 当且仅当m=2时|EF 1|+|EF 2|取得最小值32此时椭圆方程为
123
2=+y x 。

解析几何最值问题要根据题设条件建立等量与不等关系，再运用函数，方程，不等式等知识求得最值，关键是不等关系的确定。

例5 已知椭圆C:
13
4
22=+
y x ，
⑴设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围；⑵若经过椭圆右焦点作直线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ∆面积的最大值。

解 ⑴设点P(x,y)为椭圆上的动点则22≤≤-x ，|MP|2==-+2
2)(m x y (
)4
22
13)(x m x -
+-
==++-322241m mx x 33)4(2241+--m m x 因为当|MP|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x=2时 |MP|2取得最小值，而22≤≤-x 故有2
1
24≥⇒≥m m 又点M 在椭圆C 的长轴上即22≤≤-m 故实数m 的取值范围是[]2,2
1∈
m 。

⑵设直线AB 的方程为
1+=my x ()R m ∈把1+=my x 代入
122
=+
y x 得()0964322=-++my y m ①显然
0>∆设A ()11,y x ，B ()22,y x 则=-⨯⨯=212
12y y S 21y y -又因为=+21y y 4
362+-m m ，=
⋅21y y 4392+-m ，=-221)(y y 4)(2
21-+y y 21y y ⋅=48
2
22)43(33++m m 令2
33m t +=则
,3≥t =
-221)(y y t
t 1
48+由于函数t
t y 1+=在[)+∞,3上单调递增，所以310
1≥+t t 故9)(221≤-y y 即3≤S 故1ABF ∆面积的最大值等于3.
解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，
具体求最值可用到配方法，不等式法等。

例6（福建卷）抛物线y 2=4x 上两点A ，B 满足|||OB -=+求AB 的中点C 到直线02:=-y x l 的距离最小值 解 由题设知OA OB ⊥点C 的坐标为（
)
,22
2
12
1y y x x ++设C 到直线02:=-y x l 的距离为d 则 ()=
=
+-+5
212
2
1y y x x d ()()
=
+-+5
2
1
22
218
1y
y y y
()()
=
+-+5
8821221y y y y ()5
816
4221+-+y y 所以，当421=+y y 时d 取
最小值552
点评：本题为点到直线的距离最值，注意坐标特征和配方法的运用
例7(全国竞赛题)在平面直角坐标系中，已知点A （21，0），点B 在直线L ：x=-21上运动，过点B 与L 垂直的直线和AB 的中垂线相交于点M 。

（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程
（Ⅱ）设点P 是轨迹E 上的动点，点R ，N 在y 轴上，圆C ：1)1(22=+-y x 内切于PRN ∆，求PRN ∆的面积的最小值。

解，（Ⅰ）设M(x,y)，由题设知|MB|=|MA|，所以动点M 的轨迹E 是以A （21，0）为焦点，以x=-21为准线的抛物线，其方程为x y 22
=（Ⅱ）设P(x 0,y 0)，R （0，b ）,N(0,c),且b>c,故直线PR 的方程为()0000=+--b x y x x b y ，由题设知圆心(1，0)到直线PR 的距离为1，即
()12
02000=+-+-x b y b
x b y 注意到20>x 化简上式得()0220020=-+-x b y b x ，同理可得
()0220020=-+-x c y c x 由上可知
b,c 为方程()0220020=-+-x x y x x 的两根，根据求根公式可得b-c=
2
84400
2020--+x x y x =
2
200-x x 故PRN ∆的面积为S=
()=
-02
1
x c b 2
020-x x =()20-x +
()8422
42402
40
0=+-≥+--x x x ,当且仅当x 0=4时等号成立此时点P 的坐标为(4，22
)
或(4，-22)所以PRN ∆的面积的最小值为8.
点评:本题主要考查直线，圆，抛物线，函数等基础知识，同时考查运算能力以及分析问题和解决问题的能力，利用方程思想建立面积函数，然后用基本不等式求最值。

例7 (陕西卷) 点P 是双曲线
124
2=-x y 上一点，点A,B 在双曲线的两条渐近线上，且分
别位于第一，二象限，若[]
2,,3
1∈=λλ求AOB ∆面积的最值 解析:因为双曲线的两条渐近线方程为x y 2+
-=，可设点A(m,2m),B(-n,2n),m,n>0,由
PB AP λ=得P
()(
)λ
λλ
λ
+++-121,
n m n m ，将点
P 坐标代入
12
2=-x y 化简得()λ12
+=
mn 设
()5
4
2
122sin ,tan ,2tan ,2===-=∠θθθθπ AOB 又n OB m OA 5,5==所以A O B S ∆=()122sin 1
2
121++==⋅λλθmn OB OA ,[]2,31∈λ,()=λS ()11
2
1
++λλ在[]1,3
1上单调递减, 在[]2,1上单调递增,所以当31=λ时, AOB ∆面积取得最大值38当1=λ时, AOB ∆面积取得最小值2.
例8 (浙江卷)设点A 是椭圆C 1:
122
=+x y 的右顶点，
点P 在抛物线C 2：y=x 2+h )(R h ∈上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M,N ，当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，
求h 的最小值。

分析:设点P 的横坐标为t ，利用线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等，建立变量h 与t 的关系，再用函数与方程思想求h 的最小值。

解析:设点M ()11,y x ，N ()22,y x ,P （h t t +2,）则抛物线在点P 处的切线即直线MN 的方程为h t tx y +-=22将h t tx y +-=22代入椭圆C 1的方程得()
04242
22=-+-+h t tx x ，即()()()
,044142
2222=--+--+h t x h t t x t 直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所
以有()[]
0422162241>+-++-=∆h t h t 设MN 的中点的横坐标为x 3则x 3=()()
22
21122t h t t x x +-+=。

设线段PA 中点的横坐标为x 4因为点A(1，0)则2
1
4+=
t x 。

由题意得x 3= x 4则有()112+++t h t
=0于是()10412
2≥⇒≥-+=∆h h 或3-≤h ，当3-≤h 时有04,022<-<+h h 从而
01<∆不符合要求，因此1≥h 。

此时01>∆成立，故h 的最小值为1
点评:由()112
+++t h t =0得()
11-+-=t
t h 由于自变量t 的取值范围不易求得，所以不宜用函数法求h 的最小值，因此采用不等式先求得h 的取值范围，再确定其最小值。

举例9 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。

(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值。

分析: 利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用均值不等式求最值。

解析:(1)由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程
为y=kx+1(k ≠0), A ()11,y x ，B ()22,y x ,由⎩⎨⎧+==1
42kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx-4=0,显然
∆=16k 2+16>0.∴x 1+x 2=4k, x 1x 2=-4,由x 2=4y ，得y=41x 2, ∴y '=2
1x, ∴直线AM 的斜率为k AM =21x 1. 直线AM 的方程为y-y 1=21x 1(x-x 1),又x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②-①并据x 1≠x 2，得，点M 的横坐标x=2
1( x 1+x 2).
即A,M,B 三点的横坐标成等差数列。

（2）由①②易得y=-1, ∴点M 的坐标为(2k,-1) (k ≠0).
∴k MF =k k 122-=-,则直线MF 的方程为y=k
1
-x+1,又|AB|=21k +()212214x x x x -+
=4(k 2+1).用1-
代换k 得|CD|=()211k
-
+()2
12214x x x x -+=4(
2
1
k +1), k MF k AB =-1,
∴A B ⊥CD. ∴S ABCD =1|AB||CD|=8(21
k +1) (k 2+1)=8(k 2+21k
+2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD 面积的最小值我32.
点评:本题综合考查了导数应用，弦长求法，直线与抛物线的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。

综合运用知识解题能力。