2018年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点定值存在性问题课件名师制作优
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2 2 同理，可得(x2 － 4) k － 2 x y k ＋ y 0 2 0 0 2 0－4＝0， 2 2 ∴k1，k2 是方程(x2 0－4)k －2x0y0k＋y0－4＝0 的两个不相等的
实数根，
2 y 0－ 4 2 ∴x0－4≠0，Δ＞0，k1k2＝ 2 . x0－4 2 x2 y 1 2 0 0 2 ∵点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，∴ ＋ ＝1，即 y0＝6－ x0， 12 6 2
2 (1)由题意得，c＝ 6，e＝ ，解得 a＝2 3， 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 12 6 (2)由已知，直线 OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆 R 相切， |k1x0－y0| 2 2 2 ∴ ＝ 2 ，化简得 ( x － 4) k － 2 x y k ＋ y 0 1 0 0 1 0－4＝0， 2 1＋k1
演练冲关
→ → OQ· PF＝3＋3m－tn， → → OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， → → 由OP· PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2， 故 3＋3m－tn＝0. → → → → 所以OQ· PF＝0，即OQ⊥PF，又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
类题通法
定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明， 求 解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程 求出定点； (2)曲线过定点， 先用特殊位置的曲线探求定点， 再证明曲线 过该点，与变量无关．
演练冲关
x2 (2017· 高考全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： 2 → ＋y ＝1 上， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N， 点 P 满足NP＝
法二： 设直线 BF 交 AC 于 D， 连接 OD， 由题意知， OD 是△CAB 1 → → 的中位线，∴OD 綊 AB，∴AB∥OD， 2 ∴△OFD∽△AFB. c 1 1 ∴ ＝ ，解得 a＝3c，从而 e＝ . 3 a－c 2 (2)∵F 的坐标为(1,0)， ∴c＝1，从而 a＝3，∴b2＝8.
x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1. 9 8 设直线 l 的方程为 x＝ny＋1，(n≠0) ny＋1 x＝ 由x2 y2 ⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0， ＋ ＝1 9 8 －16n －64 ∴y1＋y2＝ 2 ，y1y2＝ 2 ， 8n ＋9 8n ＋9 其中 M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．
x－3 y ∴直线 AM 的方程为 ＝ ， y1 ny1－2 6y1 6y2 ∴P(9， )，同理 Q(9， )， ny1－2 ny2－2 → → 6y1 6y2 从而FP· FQ＝(8， )· (8， ) ny1－2 ny2－2 36y1y2 ＝64＋ 2 n y1y2－2ny1＋y2＋4
36×－64 8n2＋9 ＝64＋ －64n2 32n2 ＋ 2 ＋4 2 8n ＋9 8n ＋9 36×－64 ＝64＋ ＝0. 36 ∴FP⊥FQ，即以 PQ 为直径的圆恒过点 F.
专题五
解析几何
第三讲 第二课时 圆锥曲线的 定点、定值、存在性问题
方法结论
定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后 利用条件建立 b，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程 找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
x2 y2 [典例](2017· 洛阳模拟)设椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞ a b b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，B，C 是椭圆 上关于原点对称的两点(B，C 均不在 x 轴上)， 线段 AC 的中点为 D，且 B，F，D 三点共线． (1)求椭圆 E 的离心率； (2)设 F(1,0)，过 F 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，直线 MA，NA 分别 与直线 x＝9 交于 P，Q 两点．证明：以 PQ 为直径的圆过点 F.
(1)法一：由已知 A(a,0)，F(c,0)，设 B(x0，y0)，C(－x0－y0)，则 a－x0 y0 D( ，－ )， 2 2 → → → → ∵B，F，D 三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝ a－3x0 3y0 ( ，－ )， 2 2 a－3x0 3 ∴－ y0(c－x0)＝－y0· ， 2 2 1 ∴a＝3c，从而 e＝ . 3
方法结论
解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直 接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有 参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出 来，并令其系数为零，可以求出定值．
x2 y2 [ 典例 ](2017· 沈阳模拟 ) 已知椭圆 C： 2＋ 2 ＝ 1(a ＞ b＞ 0) 的左焦点为 a b 2 F1(－ 6，0)，e＝ . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由 原点 O 向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4 引两条切 线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2 为定值． (3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2 是否为定值？若是，求出该值； 若不是，请说明理由．
2源自文库
→ 2 NM. (1)求点 P 的轨迹方程； → → (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP· PQ＝1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
演练冲关
→ → (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝ (0，y0)， → → 2 由NP＝ 2 NM得 x0＝x，y0＝ y. 2 x2 y2 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以 ＋ ＝1. 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2. (2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则 → → OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，
实数根，
2 y 0－ 4 2 ∴x0－4≠0，Δ＞0，k1k2＝ 2 . x0－4 2 x2 y 1 2 0 0 2 ∵点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，∴ ＋ ＝1，即 y0＝6－ x0， 12 6 2
2 (1)由题意得，c＝ 6，e＝ ，解得 a＝2 3， 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 12 6 (2)由已知，直线 OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆 R 相切， |k1x0－y0| 2 2 2 ∴ ＝ 2 ，化简得 ( x － 4) k － 2 x y k ＋ y 0 1 0 0 1 0－4＝0， 2 1＋k1
演练冲关
→ → OQ· PF＝3＋3m－tn， → → OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， → → 由OP· PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2， 故 3＋3m－tn＝0. → → → → 所以OQ· PF＝0，即OQ⊥PF，又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
类题通法
定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明， 求 解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程 求出定点； (2)曲线过定点， 先用特殊位置的曲线探求定点， 再证明曲线 过该点，与变量无关．
演练冲关
x2 (2017· 高考全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： 2 → ＋y ＝1 上， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N， 点 P 满足NP＝
法二： 设直线 BF 交 AC 于 D， 连接 OD， 由题意知， OD 是△CAB 1 → → 的中位线，∴OD 綊 AB，∴AB∥OD， 2 ∴△OFD∽△AFB. c 1 1 ∴ ＝ ，解得 a＝3c，从而 e＝ . 3 a－c 2 (2)∵F 的坐标为(1,0)， ∴c＝1，从而 a＝3，∴b2＝8.
x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1. 9 8 设直线 l 的方程为 x＝ny＋1，(n≠0) ny＋1 x＝ 由x2 y2 ⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0， ＋ ＝1 9 8 －16n －64 ∴y1＋y2＝ 2 ，y1y2＝ 2 ， 8n ＋9 8n ＋9 其中 M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．
x－3 y ∴直线 AM 的方程为 ＝ ， y1 ny1－2 6y1 6y2 ∴P(9， )，同理 Q(9， )， ny1－2 ny2－2 → → 6y1 6y2 从而FP· FQ＝(8， )· (8， ) ny1－2 ny2－2 36y1y2 ＝64＋ 2 n y1y2－2ny1＋y2＋4
36×－64 8n2＋9 ＝64＋ －64n2 32n2 ＋ 2 ＋4 2 8n ＋9 8n ＋9 36×－64 ＝64＋ ＝0. 36 ∴FP⊥FQ，即以 PQ 为直径的圆恒过点 F.
专题五
解析几何
第三讲 第二课时 圆锥曲线的 定点、定值、存在性问题
方法结论
定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后 利用条件建立 b，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程 找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
x2 y2 [典例](2017· 洛阳模拟)设椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞ a b b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，B，C 是椭圆 上关于原点对称的两点(B，C 均不在 x 轴上)， 线段 AC 的中点为 D，且 B，F，D 三点共线． (1)求椭圆 E 的离心率； (2)设 F(1,0)，过 F 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，直线 MA，NA 分别 与直线 x＝9 交于 P，Q 两点．证明：以 PQ 为直径的圆过点 F.
(1)法一：由已知 A(a,0)，F(c,0)，设 B(x0，y0)，C(－x0－y0)，则 a－x0 y0 D( ，－ )， 2 2 → → → → ∵B，F，D 三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝ a－3x0 3y0 ( ，－ )， 2 2 a－3x0 3 ∴－ y0(c－x0)＝－y0· ， 2 2 1 ∴a＝3c，从而 e＝ . 3
方法结论
解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直 接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有 参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出 来，并令其系数为零，可以求出定值．
x2 y2 [ 典例 ](2017· 沈阳模拟 ) 已知椭圆 C： 2＋ 2 ＝ 1(a ＞ b＞ 0) 的左焦点为 a b 2 F1(－ 6，0)，e＝ . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由 原点 O 向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4 引两条切 线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2 为定值． (3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2 是否为定值？若是，求出该值； 若不是，请说明理由．
2源自文库
→ 2 NM. (1)求点 P 的轨迹方程； → → (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP· PQ＝1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
演练冲关
→ → (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝ (0，y0)， → → 2 由NP＝ 2 NM得 x0＝x，y0＝ y. 2 x2 y2 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以 ＋ ＝1. 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2. (2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则 → → OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，