导数的应用PPT优秀课件
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其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2. 若函数 y f x在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的 的最小值，f b 为函数的最大值；若函数 y f x 在[a，b] 上单调递减，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的
最小值.
则 y f x 在该区间上是增函数；若 f x 0 ，则
y f x 为减函数。
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 数
确定函
f x 的定义域区间；
② 求 f x ，令 f x ＝０，解此方程，求出它在
定义域区间内的一切实根；
③ 把函数 f x 的间断点（即 f x 的无定义点）
欢迎提出宝贵意见，谢 谢大家！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学 生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
思想目标：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
重点导析：
一、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 y f x 在某个区间内可导，若 f x 0 ，
例４ 函数 y2x33x21x25在[0，3]上的最值.
X
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,2)
2
(2,3)
3
Y’
－
0
＋
y
5
-15
５
题型四 ：利用求导证明不等式
例５ 当 x 0 时，证明 ln1xx1x2
2
分析：运用函数与方程的思想，可将不等式 ln1xx1x2
2
的证明转化为证明函数 fxln1x1x2x
2
在 0, 上为增函数，而增函数的证明又可转化 为证明 f x 0
题型五 ：利用求导解应用题
例６ 如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开
始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同
时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过
多少时间甲、乙相距最近？
的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后
用这些点把函数 f x 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 f x 在各个小开区间内的符号，根据 f x
的符号判定函数 f x 在每个小开区间内的增减性。
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度 解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速
1. 极值的概念：设函数 f x 在点 x 0 附近有定义，且对
x 0 附近的所有的点 x 都有 f xf x0（或 f xf x0
则称 f x0 为函数的一个极大（小）值，称 x 0 为极大（小）
值点。
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤：
① 求导数 f x
② 求方程 f x ＝０ 的根；
③ 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f x
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为
正，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值.
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
2. 注意严格区分极值和最值的概念. 极值是仅对某一点的附 近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而 言，是在整体范围内讨论问题。
此外，还须明确：
① 函数 y f x 在极值点不一定存在导数. 例如：
f x x
② 闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内可导 函数若有唯一的极值,则此极值必是最值
如图
三、函数的最大值与最小值
1. 设 y f x 是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在 （a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
最小值，可分两步进行：
① 求 y f x 在（a，b）内的极值； ② 将 y f x 在各极值点的极值与 f a, f b 比较，
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
B
乙
甲A 如图
难点突破： 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若 y f x
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0 ），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3 ，有 fx3x20（其中f 0 0），
度就是该点或该时刻对应的导数.
例1 求垂直于直线 2x6y10 ，且与曲线 yx33x2 1 相切的直线方程.
如图
题型二 ：求函数的单调区间.
例2
试确定函数
y 1 lnx1
x
的单调区间.
分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内 确定其导数为正值与负值的区间.
如图
二、可导函数的极值
题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数 fxax3bx2cx在 x 1 或 x 1
处有极值且 f 1 1 . 求 a , b , c . 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤 来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为
f x 0 的根）.
导数的应用
授课教师：李相锋
知识目标：
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值 以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；
2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
能力目标：
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及 函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学 思维能力；
2. 若函数 y f x在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的 的最小值，f b 为函数的最大值；若函数 y f x 在[a，b] 上单调递减，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的
最小值.
则 y f x 在该区间上是增函数；若 f x 0 ，则
y f x 为减函数。
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 数
确定函
f x 的定义域区间；
② 求 f x ，令 f x ＝０，解此方程，求出它在
定义域区间内的一切实根；
③ 把函数 f x 的间断点（即 f x 的无定义点）
欢迎提出宝贵意见，谢 谢大家！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学 生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
思想目标：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
重点导析：
一、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 y f x 在某个区间内可导，若 f x 0 ，
例４ 函数 y2x33x21x25在[0，3]上的最值.
X
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,2)
2
(2,3)
3
Y’
－
0
＋
y
5
-15
５
题型四 ：利用求导证明不等式
例５ 当 x 0 时，证明 ln1xx1x2
2
分析：运用函数与方程的思想，可将不等式 ln1xx1x2
2
的证明转化为证明函数 fxln1x1x2x
2
在 0, 上为增函数，而增函数的证明又可转化 为证明 f x 0
题型五 ：利用求导解应用题
例６ 如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开
始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同
时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过
多少时间甲、乙相距最近？
的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后
用这些点把函数 f x 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 f x 在各个小开区间内的符号，根据 f x
的符号判定函数 f x 在每个小开区间内的增减性。
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度 解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速
1. 极值的概念：设函数 f x 在点 x 0 附近有定义，且对
x 0 附近的所有的点 x 都有 f xf x0（或 f xf x0
则称 f x0 为函数的一个极大（小）值，称 x 0 为极大（小）
值点。
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤：
① 求导数 f x
② 求方程 f x ＝０ 的根；
③ 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f x
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为
正，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值.
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
2. 注意严格区分极值和最值的概念. 极值是仅对某一点的附 近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而 言，是在整体范围内讨论问题。
此外，还须明确：
① 函数 y f x 在极值点不一定存在导数. 例如：
f x x
② 闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内可导 函数若有唯一的极值,则此极值必是最值
如图
三、函数的最大值与最小值
1. 设 y f x 是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在 （a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
最小值，可分两步进行：
① 求 y f x 在（a，b）内的极值； ② 将 y f x 在各极值点的极值与 f a, f b 比较，
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
B
乙
甲A 如图
难点突破： 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若 y f x
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0 ），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3 ，有 fx3x20（其中f 0 0），
度就是该点或该时刻对应的导数.
例1 求垂直于直线 2x6y10 ，且与曲线 yx33x2 1 相切的直线方程.
如图
题型二 ：求函数的单调区间.
例2
试确定函数
y 1 lnx1
x
的单调区间.
分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内 确定其导数为正值与负值的区间.
如图
二、可导函数的极值
题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数 fxax3bx2cx在 x 1 或 x 1
处有极值且 f 1 1 . 求 a , b , c . 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤 来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为
f x 0 的根）.
导数的应用
授课教师：李相锋
知识目标：
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值 以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；
2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
能力目标：
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及 函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学 思维能力；