分形图及其函数

Mandelbrot 集的定义方法在复平面中，迭代表达式为

21k k Z Z C +=+ （1）

式中Z 和C 都是复数，由各自的实部和虚部组成。分离Z 和C 的实部和虚部，则： Z x yi =+

C p qi =+

式中：x p 、为复数的实部；y q 、为复数的虚部；i 为虚常数，i =。第k 个点k Z ，即xy 平面上的点(,)k k x y ，从k Z 到1k Z +的迭代过程就是

221k k k x x x y p +==-+ （实部）

12k k k y y x y q +==+ （虚部）

令初始值Z0 = 0 ( 即Z0 = 0 + 0·i ) ，C ≠0 ( 其中 p 和q 在各步迭代中都保持为常数)。迭代计算中，把前一个Z 值的输出作为下一个Z 值的输入，代入 Zk ← Z2k + C 反复运算，得到一连串的复数。每做一次迭代，新的复数就离开前一个复数一段距离，就如同一个点在复平面上跳舞。由系统生成的M 集的图形见图1

函数：21k k Z Z C +=+其中Z x yi =+，C p qi =+（这里221k k k x x x y p +==-+

12k k k y y x y q

+==+ ）

对于k > 2 的广义Mandelbrot 集即高次幂Mandelbrot 集，其集图像更为丰富［10］。图2 示出3 阶M 集到10 阶M 集的图形。

1、函数变换：

1） 改变迭代式21k k Z Z C +=+中x 与y 的位置。把原来从k Z 到1k Z +的迭代过程式中的2k

x 和2k y 改变位置，则转换成: 221k k k x x y x p +==-+ （实部）

12k k k y y x y q +==+ （虚部）

函数变换后得到的M 集图形如图3( a) 所示

即：函数为：21k k Z Z C +=+其中Z x yi =+，C p qi =+（这里 221k k k x x y x p +==-+

12k k k y y x y q +==+ ）对应分形图为：

2）改变算术符合的图形。把原来从k Z 到1k Z +的迭代过程式中实部的负号变成正号，变换如下：

221k k k x x y x p +==++ （实部）

12k k k y y x y q +==+ （虚部）

函数变换后得到的M 集图形如图3( b) 所示

即：函数为：21k k Z Z C +=+其中Z x yi =+，C p qi =+（这里 221k k k x x y x p +==++

12k k k y y x y q +==+ ）对应分形图为：

3）互换迭代式之后的图形。把原来从k Z 到1k Z +的迭代过程式中实部的22k k x y -和虚部的2k k x y 互换，变换如下：

12k k k x x x y p +==+ （实部）

221k k k y y x y q +==-+ （虚部）

函数变换后得到的M 集图形如图3( c) 所示

即：函数为：21k k Z Z C +=+其中Z x yi =+，C p qi =+（这里 12k k k x x x y p +==+

221k k k y y x y q +==-+ ）对应分形图为：

2、 函数迭加

对M 集的二次幂迭代式和三次幂迭代式进行函数迭加变换，得到的图形如图4 ( a) 所示。对M 集的二次幂迭代式和三角函数( 正弦函数) M 集的三次幂做迭加，得到的图形如图4( b) 所示。

3、三角函数M 集

以sin Z 或cos Z 替换迭代式21k k Z Z C +=+中的变量Z ，即可得三角函数M 集： 1sin k k Z Z C +=+。则三角函数的M 集分形图如图5所示。

4、高阶三角函数M 集

将高阶与三角函数M 集结合起来，即可得到高阶三角函数M 集。图6 为高阶三角函数M

集图。图6( a) ～( f) 展示的生成图形依次为:二阶余弦函数、二阶正弦函数M 集、三阶余弦函数、三阶正弦函数M 集、四阶余弦函数、四阶余弦函数M 集的图形。