统计模型数据拟合方法

在实验中收集到一组数据 (xi,yi)i,1,2, ,m 可以由这组数据分析出一个经验公式：
yf(x,a,b, ,c)
其中 a,b,,c 为一组待定参数，使得
m
[yi f(xi,a,b,,c)]2
i1
取到最小值，从而确定出参数 a,b,,c 的值。 这样就得到由这组数据确定的拟合函数。
统计模型数据拟合方法
统计模型数据拟合方法
统计模型 （一）数据拟合方法 （二）多元回归方法
案例：软件开发人员的薪金问题
统计模型数据拟合方法
课堂讨论
投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券等）Si(i=1， 2，…，n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当 大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种 资产进行了评估，估算出了这一时期内购买Si的平均收益 率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资 越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若 干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险 来度量。
S [yif(xi)2] [yiai xb)2]
i 1
i 1
最优的必要条件是 改写为
S a S b
2 2
m
i1 m
i1
xi (yi (yi
axi b) axi b)
0
0
a
m i 1
xi2
m
b
i 1
xi
m i 1
xi yi
m
m
a i1 xi mb i1 yi
将 xi 和 yi 的值全部代入， 方程组就变为 二元一次代数 方程组
净收益 = 投资平均收益 — 交易费
风险额 = 各个风险额的最大者
总投资 = 购买各种资产的费用+交易费用
n1
n1
f1 rixi yi
i1
i1
f2 m0iaxn (qi xi )
0 yi ui pi
xi pi
xi 0 0 xi ui xi ui
n1
(xi yi)M
i1
统计模型数据拟合方法
400
构造逼近曲线所采用的数学方法称为曲线逼近法。
相应的有曲面插值（逼近）问题。
统计模型数据拟合方法
常用的拟合方法有：
1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘法
40 35 30 25 20
100
200
300
400
50
40
30
20
10
100
200
300
400
统计模型数据拟合方法
最小二乘法的基本原理
交易费函数的线性化
0 yi ui pi
xi pi
xi 0 0 xi ui xi ui
yi pixi
风险函数的转化 xn2 f2
qixi xn2
统计模型数据拟合方法
整数线性规划模型
n1
mifn (1) (ripi)xixn2 i1
n1
( xi
pi xi )
M
s.t.
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i 1
qi x
以投资组合为决策变量的双目标随机规划问题。
投资组合：确定给资产Si投资多少的问题。
统计模型数据拟合方法
1.确定设计变量和目标变量
净收益、风险额为目标变量 给每种资产的投资额为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
统计模型数据拟合方法
2 符号说明
方法：搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析去建立数学模型。
统计分析方法
统计模型数据拟合方法
数据拟合方法
最小二乘法
统计模型数据拟合方法
数据拟合建模
给定一组有序的数 据点，这些点可以是从 实验中测量得到的，也 可以是设计员给出的。
希望
40 35 30 25 20
100
200
300
400
构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对 这些点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
构造插值曲线所采用的数学方法称为曲线插值法。
统计模型数据拟合方法
注意到
测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗
糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据
点就没有什么意义。
50
构造一条曲线使之在某 40
种意义下最接近给定的数据 30 20
点将更为合理，称之为对这 10
些点进行曲线逼近。
100
200
300
假设我们预想到一个确定形式的模型，并且 已经收集了数据并进行分析。在这里用最小二 乘准则来估计各种类型曲线的参数。
拟合直线
用 yaxb 记作 yAxB的最小二乘估计。 这时运用最小二乘准则 ，则要求极小化
m
m
S [yif(xi)2] [yiai xb)2]
i 1
i 1
统计模型数据拟合方法
m
m
统计模型数据拟合方法
投资的相关数据表
Si
ri(%) qi(%) pi (%) ui(元)
S1 28 2.5 1
103
S2 21 1.5 2
198
S3 23 5.5 4.5 52
S4 25 2.6 6.5 40
统计模型数据拟合方法
1 问题分析 投资策略：为了使净收益尽可能大，风险尽可能小
确定最优投资组合。 问题为
所建优化模型为
n1
n1
mafx1 rixi yi
i1
i1
minf2 m1ianx(qixi)
n1
s.t.
(xi yi)M
i1
双目标的优化模型
0 yi ui pi
xi pi
xi 0 0 xi ui x u i统计模型i数据拟合方法
4 模型的转化
目标函数的确定
m f i( 1 n ) ( f 1 ) f2
符号
Si
ri
qi pi
ui
M
xi yi f1 f2
符号意义
第 i 种资产（ i1,2, ,n,n1）
S
i
表示存入银行
1
S i 的平均收益率 S i 的风险损失率
S i 的交易费率
S i 购买额阈值
资金总额
投资 S i 的资产数额 投资 S i 的交易费用
净收益
总体风险
权因子
统计模型数据拟合方法
3 模型的建立
i
xn2
0
i 1,2, , n
x
i
0
i 1,2, , n 2
5 模型的求解
用软件可以求解
统计模型数据拟合方法
当人们对所研究的对象的内在特征和 各因素的关系比较充分时，用机理分析的 方法建立数学模型；由于客观事物的复杂 性及人们认识程度的限制，无法分析实际 对象内在的因果关系，因此无法建立合乎 机理规律的数学模型。
统计模型数据拟合方法
购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不 超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然不 付费）。另外，假设同期银行利率是r0（r0=5%）， 且既无交易费也无风险。
相关数据如下表所示。
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的 资金，有选择的购买若干资产或银行生息，使净收益 尽可能大，而总体风险尽可能小。