标量衍射理论

]
= hห้องสมุดไป่ตู้ x − x 0 , y − y 0 )
脉冲响应具有空不变形式
2.2 衍射的角谱理论 1、角谱的传播
孔径平面和观察平面上的光场都可以看成许多不同方向传播的 单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的振幅和相位取 决于相应的角谱
A0 ( cos α
λ
,
cos β
λ
∞ −∞
)
和
cos α cos β A( , )
cos α cos β cos α cos β Ai ( , )=δ( , )
U 0 ( x0 , y0 ) t( x0 , y0 )
cos α cos β
Ai (
λ
λ
A0 (
∑
λ
,
,
λ
)
)
λ λ ∵δ 函数只有当 cosα = 0 cos β = 0时才不为零
λ
λ
T(
cos α
cos β
λ
λ
∴照明光波的角谱只有一个，代表沿衍射屏 法向传播的平面波 通过此孔径后，衍射光场的角谱
光传播的波动方程（光振动标量波动方程）
1 ∂u ∇ u− 2 2 =0 c ∂t
2 2
u ( P, t ) = Re U ( P)e
亥姆霍兹方程
{
− i 2πνt
}
(∇ + k )U ( P ) = 0
2 2
自由空间传播的单色光复振幅必须满足的波动方程
1882年，基尔霍夫利用格林定理推导出严格的衍射公式
d2 cos α cos β cos α cos β 2 2 2 A ( , ) + A ( , ) k ( 1 − cos α − cos β)=0 2 dz λ λ λ λ
cos α cos β cos α cos β A( , ) = C( , ) exp( jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β )
第二章 标量衍射理论
¾ 光波的传播过程就是光波衍射过程 矢量波衍射理论 假设与近似 (1)整个光波场内光矢量振动方向 不变,或只考虑光矢量的一个分量; (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (3)折射率与光强无关. 标量波衍射理论
波动光学
信息光学 （基础）
本章讲述标量波衍射理论。需要指出的是，在现代衍 射光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中，常利 用矢量波衍射理论
λ
λ
U ( x, y, z) =
∞
∫ ∫ A (ξ , η ) exp [ j 2π (ξ x + η
y )] d ξ d η
cosα cos β cosα cos β ⎡ ⎤ cosα cos β U0 ( x0 , y0 ,0) = ∫ ∫ A0 ( , ) exp ⎢ j 2π ( x0 + y0 )⎥ d( )d( ) λ λ λ λ λ λ ⎣ ⎦ −∞ U ( x, y, z ) = ∫
T( cosα cos β , )
t ( x0 , y0 ) cosα cos β T( , ) λ λ
λ
λ
孔径透过率的傅里叶变换
例：矩形孔径
t ( x 0 , y 0 ) = rect (
y x0 ) rect ( 0 ) b a
U i ( x0 , y0 )
cos α cos β , )
单位振幅平面波垂直照明孔 径，入射场 U i ( x 0 , y0 ) = 1 其角谱为
0
观察面上衍射光满足傍轴条件下，又有
r r cos( n, r ) ≈ 1
K (θ ) ≈ 1
h(P ,Q ) ≈ 1 e jλ z
jkr
此时
x0
h(P ,Q ) ≈
1 e jkr jλ z
x
Q 0
r
P
0
z
y0
z
y
1 h ( x0 , y0 ; x, y ) ≈ exp jk jz λ
[
z 2 + ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2
其复振幅的数学表达式为
U (Q ) = C ∫
U0 (P)
r n
∑
∫
U 0 ( P ) k (θ )
e
jkr
P0
dS
ds θ P
∑
r
Q
r
波面上任一点的复振幅
∑ — 隔开波源与场点的曲面
K (θ ) — 倾斜因子
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
—比例系数
缺憾/ (1)子波源相位须人为超前 (2)K(Θ)难确定
λ
λ
λ
λ
z=0
A(
A0 (
cos α cos β cos α cos β , ) = C( , )
λ
λ
λ
λ
cos α cos β cos α cos β , ) = A0 ( , ) exp( jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β )
λ
λ
λ
λ
¾角谱传播的规律 ¾已知z=0平面上的角谱，可求出观察平面上的角 谱，然后通过傅里叶逆变换可求出观察平面上的复 振幅分布 ¾ 具有和基尔霍夫衍射公式等同的价值
U 0 ( x0 , y0 ) = t ( x0 , y0 )U i ( x0 , y0 )
Ai (
U i ( x 0 , y0 )
λ λ
U 0 ( x 0 , y0 )
λ λ
cos α cos β cosα cos β , ) A0 ( , )
∑
由傅里叶变换卷积定理
cos α cos β cos α cos β cosα cosβ , )∗T( , ) A0 ( , ) = Ai ( λ λ λ λ λ λ
∫ ∫ dU
−∞
+∞
(Q )
dU ( Q ) = U 0 ( P ) h ( P , Q ) dS
上式表示屏上P点处的小面元对观察点Q的贡献。 令
U 0 ( P ) dS = 1
单位振幅（脉冲）
则 dU ( Q ) = h ( P , Q ) P点处的单位脉冲在Q点产生的复振幅分布
h( P , Q )
n
r0 P0
Σ
P r Q
1 a0 e U (Q) = ∫ jλ Σ r0
ikr0
v v v v ikr cos(n , r ) − cos(n , r0 ) e [ ] ds 2 r
ikr
1 cos(n , r ) − cos(n , r ) , K (θ ) = C= jλ 2
e U (Q) = C ∫ U 0 ( P) K (θ ) ds rv v ∑ v v
λ
λ
λ
λ
λ
λ
角谱分量大大增加 ¾从空域看，孔径的作用是限制入射波面的大小范围 ¾从频域看，却是展宽入射光场的角谱 ¾孔径越小，透射光场的角谱就愈宽，或者说包含的 高频成分就愈多
sin c ( a cos α
−∞
∞
y )]dξdη
A(ξ ,η ) = A0 (ξ ,η ) H (ξ ,η )
2 孔径对角谱的影响 ¾孔径平面的光场分布U（x0,y0)－紧靠孔径平面后 方的透射光场的分布 ¾光波在自由空间传播时光场及其角谱发生的变化
照明孔径的入射光场与透射光场之间的关系? 角谱之间的关系?
U 0 ( x 0 , y0 ) t ( x 0 , y0 ) = 复振幅透过率 U i ( x 0 , y0 )
ξ +η <
2 2
1
λ
2
光波传播——空间滤波器 有限空间带宽(1/λ) 传递函数模１ 传递函数模０(＞１／λ)
ξ
η
基尔霍夫衍射理论与角谱理论比较 (1) 统一性：光的传播现象可看作线性不变系统 (2) 相异性： 球面波理论与平面波理论
基尔霍夫理论—空域中光的传播 ¾孔径平面光场—点源的集合 ¾观察面上光场分布—带有不同权重因子的球面子波的相干迭加 ¾球面子波在观察平面上的复振幅分布—系统的脉冲响应 角谱理论—频率域中光的传播 ¾孔径平面场分布—不同方向传播的平面波分量的的线性组合 ¾观察面上场分布—先前平面波分量（引入相移）的相干迭加 ¾相移—大小决定于系统的传递函数(系统脉冲响应的FT变换)
2.1 基尔霍夫衍射理论 2.1.1 惠更斯---菲涅耳原理和基尔霍夫衍射公式 惠更斯原理 （1678年）
惠更斯---菲涅耳原理（1818年）
ds P0 P
r n
θ
r
Q
∑
¾ 基于惠更斯子波的假设与杨氏干涉原理 ¾ 描述光传播过程的基本原理 ¾ 原理：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上的 各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则 在波传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是 这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果
t( x0 , y0 )
cos α cos β cosα cosβ cosα cos β cosα cos β = T ( , ) A0 ( , )=δ ( , )∗T( , ) λ λ λ λ λ λ λ λ
a cos α b cos β cosα cos β cos α cos β A0 ( , )=T( , ) = ab sin c ( ) sin c ( )
cos α cos β cos α cos β A( , ) = A0 ( , ) exp( − z μ )
λ
λ
λ
λ
μ = k cos2 α + cos2 β − 1 > 0 ¾波动分量随z增加而按指数 exp( − zμ ) 衰减
¾在几个波长距离内几乎衰减为零
倏逝波
A(
cos α cos β cos α cos β , ) = A0 ( , ) exp( jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β )
1
λ
1
η
= exp( jkz 1 − (λξ )2 − (λη )2
H (ξ ,η ) =
exp( jkz 1 − (λξ ) − (λη ) ξ + η <
2 2
2 2
1
λ2
0
其它
⎧ 2 2 λξ λη ikz − − exp[ 1 ( ) ( ) ] ⎪ H (ξ ,η ) = ⎨ ⎪ 其他 ⎩0
单位脉冲响应或点扩散函数
观察点Q的复振幅是Σ上所有面元的光振动在Q点引起的 复振幅的相干叠加
U (Q ) =
∫ ∫U
−∞
+∞
0
( P ) h ( P , Q )d S
结论： （1）衍射过程或传播过程也可以看做为一种线性系 统的线性变换。 （2）h(P,Q)代表了这个系统的全部特性。
线性不变性—卷积积分 入射到衍射屏的光满足傍轴条件（菲涅尔近似） r r 下，有 cos( n, r ) ≈ −1
对于单色光场，满足亥姆霍兹方程
∇
2
U ( x , y ) + k 2U ( x , y ) = 0
对每一平面波分量，也应满足上式方程 （注意A仅是z的函数）
(∇
2
+ k 2 ) A(
cos α
λ
,
cos β
λ
cos α cos β ⎡ ⎤ ) exp ⎢ j 2 π ( x+ y )⎥ = 0 λ λ ⎦ ⎣
2.1.2 光波传播的线性性质（叠加积分与卷积积分)
e jkr 1 线性性—叠加积分 设 h( P , Q ) = k (θ ) jλ r +∞ 1 e jkr U (Q ) = ∫ ∫ U 0 ( P ) k (θ ) dS jλ r −∞
=
∫ ∫U
−∞
+∞
0
( P ) h ( P , Q )d S =
λ
λ
λ
λ
（3） cos α + cos β = 1 ¾波动分量的传播方向垂直于z轴，沿z方向实际上没 有能量传播 H (ξ , η )
2 2
cos γ = 0 γ = 90o
（4）系统的传递函数
A(ξ ,η ) = A0 (ξ ,η ) H (ξ ,η )
A(ξ ,η ) H (ξ ,η ) = = exp( jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β ) A0 (ξ ,η ) ξ
A(
cos α cos β cos α cos β , ) = A0 ( , ) exp( jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β )
λ
λ
λ
λ
讨论：（1）当方向余弦满足下面关系式时
cos α + cos β < 1
2 2
¾各平面波传播一定距离z仅引入一定的相移，振幅不变 ¾不同方向上传播的平面波分量到达观察面时的距离各 不相同，产生的相移与传播方向有关 （2） cos2 α + cos2 β > 1
−∞
∫ A(
∞
cosα cos β cosα cos β ⎤ cosα cos β ⎡ , ) exp ⎢ j 2π ( x+ y )⎥ d( )d( ) λ λ λ λ λ λ ⎣ ⎦
U ( x, y, z ) = ∫
−∞
∫ A(
∞
cosα cos β cosα cos β ⎤ cosα cos β ⎡ , ) exp ⎢ j 2π ( x+ y )⎥ d( )d( ) λ λ λ λ λ λ ⎣ ⎦
(ξ ,η ) A(ξ ,η ) dξdη —权重
01 02 03
A(ξ ,η ) dξdη A(ξ ,η ) dξdη
—权重
—权重
U (x, y) =
∫ ∫U
−∞
+∞
0
( x 0 , y 0 ) h ( x − x 0 , y − y 0 )d x 0 dy
0
U ( x, y ) =
∫ ∫ A (ξ , η ) exp [ j 2 π (ξ x + η