第三讲__有效前沿与最优证券组合

rp x1rf (1 x1 ) rA
_
_
p (1 x1 ) A
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关 系：
rp rf [(rA rf ) / A ] p
_
_
图3.5
rp
rA
C 。 B A
rf
O
A
p
两种股票A和B，及一种债券
一阶条件变形得：
U1 1 _ X V r 2U 2
T

2U 2
V I
1
U1 T 1 T 1 1 I X I V r I V I 2U 2 2U 2
从而得出：
2U 2 AU1 C
把代回X中可得最优投资比例 ：
1 1 AU V r AU V I * 1 1 X [1 ] 2U 2 A 2U 2 C
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿 两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 ra 2 2 和 r b，方差和协方差分别为 a , b , ab a b 对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合 p的期望收益率和方差如下：
rp x ra (1 x) rb
X ( x1, x2 ,...,xN )T
证券组合期望收益率和方差分别为
rp X T r
_
T 2 X VX p
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
1 T min X VX 2
s.t , X r rp
T
_
_
X I 1
T
构造拉格朗日函数
_ _ 1 T L X VX (rp X T r ) (1 X T I ) 2
一阶条件：
_ L VX r I 0 T X _ L _ rp X T r 0
L 1 X T I 0
由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得
_ 1 X V ( r I ) _ _ _ _ _ (C rp A) / D T 1 T 1 rp (r V r ) (r V I ) _ _ _ (B A rp ) / D 1 T 1 1 (I V r) (I V I ) _ _ _ T 1 T 1 T 1 AI V r C I V I Br V r
_
1
_
_
_
_
或
X p VX p (rp rf ) / H
2 p T 2
p (rp rf ) / H
_
切点证券组合(tangency portfolio)
B Arf A D re A Cr f C C ( A Crf )
_
D 1 1/2 e [ ] 2 C ( A Crf ) C
rp
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切 的射线 rp
e A
rf
D
B O
p
N 种股票及一种债券
问题
1 T min X VX 2
T _ T _
s.t X r (1 X I )rf rp 构造拉格朗日函数：
_ _ 1 T L X VX [ X T r (1 X T I )rf rp ] 2
3.3 最优证券组合
N种风险证券的情形 2 U ( r , p p) 设投资者的效用函数为 ，并设 ' U1' 0 和 U 2 0 ，下标1，2分别表示对U ' U 的第1，2个变元求导。 1 0 意味着对给 2 定的风险 p ，投资者认为期望回报率 r ' U 越大越好。 2 0 意味着对给定的期望回 2 报率 rp ，投资者认为风险 p 越小越 好。
p
这时投资者的问题可表述为
max U ( X r, X VX )
s.t
T
T
X I 1
T
构造拉格朗日函数
L U ( X r, X VX ) (1 X I )
T T T
一阶条件
_ L U1 r 2U 2VX I 0 T X
L 1 X T I 0
切点证券组合e的投资比例
X e V 1 (r rf I )
_
( A / C rf ) 2 C 2 D C 2 H ( A / C rf )
切点的证券组合
Xe
V ( r rf I ) C ( A / C rf )
1

V (r r f I ) A Cr f
1
AU1 AU 1 X d [1 ]X g 2U 2 2U 2
定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。 又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有： 推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切 点都是由 和 的凸组合构成的。 有效前沿又可以看成由所有切点组成，因 而有： 推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸 组合。
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券 以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是 购买股票的比例。 证券组合的期望收益率和标准差分别为：
_ _
_2
1 AB 1 3）
2 2
_
D ( A B 2 AB A B ) /(rA rB )2 0
2种和3种风险证券的有效前沿
r
p
B ab=-1 ab=1
rp
4 3 1
C 2 B A
C
D A O 图3.1 p O 图3.2
p
例题
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 r a=4.6% 和 rb=8.5% ，方差和协方差分别为 2 2 a (5.62%) 2 , b (6.33%) 2 , a b 4.7% 求这两种风险资产的有效前沿。
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
证券组合的期望收益率
rp X r (1 X I )rf rf X (r rf I )
T T
T
投资者的问题可表示为：
第三讲 有效前沿与最优证券组合
有效前沿的定义： 定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质： 1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。 2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。 则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
max U (rf X (r rf I ), X VX )
T T
一阶条件
U U1 (r rf I ) 2U 2VX 0 T X 最优投资比例为
_ U X * 1 V 1 (r rf I ) 2U 2
在债券上的投资比例为(1 – X*I)
定理3.2 (两资金分离定理，twofund separation)
一阶条件：
_ L VX (r rf I ) 0 T X
_ L _ T rp rf X (r rf I ) 0
得证券组合的投资比例
X p V (r rf I )(rp rf ) / H
其中 H (r rf I )T V 1 (r rf ) B 2rf A rf2C 证券组合的方差为
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe. 三种解法。
rp x 4.6% (1 x) 8.3%
2 p x2 (5.62%)2 (1 x)2 (6.33%)2 2x(1 x) 4.7%
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
图3.3
p
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
设市场上有N种风险证券，它们的收益率 和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协 方差矩阵V为正定矩阵 ， N种证券的期望 _ _ _ T 收益率为： r (r1 , r2 ,...,rN ) N种证券组合P表示为：
_Байду номын сангаас

x (1 x) 2x(1 x)ab ab
2 p 2 2 a 2 2 b
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB 1 2） AB 1
p x A (1 x) B
p [ x A (1 x) B ]
2 p D r p Frp G
C D
( rp
A C
A )(rq C
1 ) C
令 r p rq ，则得前沿上的证券组合 方差为：

2 p
C ( D
r
A )2 p C
1 C
rp

2 p
1/ C

( rp A / C ) 2 D/C
2
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
D BC A2 0
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券 组合为：
C rq A 1 _ B A rq 1 Xq V r V I D D
_ _
C rp A 1 _ B A rp 1 Xp V r V I D D _
_
_
两个证券组合的协方差为
cov(rp , rq )