基于CIR利率模型下的期权定价

中性测度下是鞅。即 ｄ（Ｄ（ｔ）Ｂ（ｔ，Ｔ））＝ｄ（Ｄ（ｔ）八ｔ，Ｒ（ｔ）））＝
爪ｔ，Ｒ（ｔ））ｄＤ（ｔ）＋Ｄ（ｔ）ｄｆ（ｔ， Ｒ（ｔ））＝Ｄ（ｔ）（一Ｒｆｄｔ＋ｆ，ｄｔ＋
ｆｄＲ＋麓１ ｄＲｄＲ）＝Ｄ（ｔ）［一
在风险中性测度下，考虑ＣＩＲ利率模型，利率的 演化过程由下面的随机微分方程给出：
ｄＲ（ｔ）＝（ａ—ｂＲ（ｔ））ｄｆ＋盯ｌ√Ｒ（ｔ）ｄ Ｗ（ｔ） （７） 式（７）中ａ，ｂ，盯。为正的常数。
上ｚ－苦ｔ）ｋ［ｖ（Ｔ）ｚ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］ｄＰ７＝
Ｊ ｙ（Ｔ）ｄＰ７，ＶＡ∈Ｆ（ｔ）即可。
由于云仉抒［咿）ｚ（驯Ｆ（ｔ川＝
Ｅ［厶Ｅ［ｙ（Ｔ）ｚ（Ｔ）］ｌ Ｆ（ｔ）］＝ Ｅ［Ｅ［厶ｙ（Ｔ）ｚ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］］＝ Ｅ［厶ｙ（Ｔ）ｚ（Ｔ）］＝
Ｅ［ＩＡＶ（Ｔ）Ｚ（Ｔ）］＝Ｅ７［ＩＡＶ（Ｔ）］＝』ｙ（Ｔ）ｄ
所以
Ｆｏｒ，（Ｔ，丁）＝器ｅｘｐ（盯：护（丁）一虿１盯ｉ丁）＿ 器ｅＸｐ㈨护（驴护㈤）一
寻盯：２（丁一ｔ）＋盯：护（ｔ）一１，，卿２）：
Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）ｅｘｐ ｆ盯：（矿（丁）一旷（ｔ））一
下１ ｃｒ２２（Ｔ—ｔ））。
再由式（２９）以及注意到Ｆｏｒ。（Ｔ，Ｔ）＝Ｓ（Ｔ）知：
ｙ（ｔ）＝Ｂ（ｔ，丁）云７［（ｓ（丁）一Ｋ）＋Ｊ Ｆ（ｆ）］：
略去。可参见文献［３］，那里有较详细的证明。
证毕。
万方数据 再根据式（６），债券的贴现价格Ｄ（ｔ）Ｂ（ｔ，Ｔ）在风险
５期
沈惟维，等：基于ＣＩＲ利率模型下的期权定价
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３以零息债券作为计价单位的远期测度下 的资产定价公式
考虑某种资产（股票），冥以货币计量的价格为
Ｓｉｔ），在五下满足：
ｄＳ（ｔ）＝Ｒ（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄｔ＋盯２Ｓ（ｔ）ｄ形 （２１） 式（２０）中盯：是常数。在时刻Ｔ交割一份该资产用 以换取Ｋ的远期合约在时刻Ｔ的支付为Ｓ（Ｔ）一Ｋ。 根据风险中性定价公式，该合约在较早时刻ｔ的价 值为：
而
如搿）＝云７［（一ｐ｛＿盯万ｙ一虿１盯：２丁｝＿Ｋ）＋］＝
去０一ｐ｛＿盯而一弘１ ２小
Ｋ）＋ｅ印１ ２ｄｙ
由于（搿ｅｘｐ｛－盯万ｙ一虿１盯：２丁｝一Ｋ）＋取正值当且
仅当ｙ＜盯万１［１。ｇ素一虿１盯ｚ２丁］＝ｄ一（ｔ），故
如∽＝去亡幻（一ｐ－－Ｏ＂而一弘１ ２十 Ｋ）ｅ专２虻压１■…ｐ（一争２一
而一扣）毋一去ｒ‰乜＝
第１０卷第５期２０１０年２月 １６７１—１８１５（２０１０）５—１３１９－０５
科学技术与工程
Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１０ ◎２０１０
Ｎｏ．５ Ｆｅｂ．２０１０ Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．
基于ＣＩＲ利率模型下的期权定价
沈惟维潘文亮
（暨南大学经济学院，广州５１０６３２）
彤《＋（ｏ—ｂｒ）ｆ，．＋ｉｌ盯２ｌ以］ｄｔ
令ｄｔ项等于０，有
＋Ｄ（ｔ）盯ｌ√Ｒ（ｔ）ＬｄＷ（ｔ）。 （１３）
ｆ（ｔ，ｒ）＋（ｏ—ｂｒ）崛（￡，ｒ）＋ｉ１…ｚ。，，ｅ、ｔ，ｒ）＝矿＇（ｔ，ｒ）
（１４）
因为在到期Ｅｔ Ｔ债券的价值等于其面值１，所以还
有终值条件：
八丁，ｒ）＝Ｂ（Ｔ，Ｔ）＝１，Ｖ ｒ
（１５）
ｙｉｔ）２薪［Ｄ（丁）（ｓ（丁）一Ｋ）ｌ Ｆｉｔ）］
（２２）
由于Ｄｉｔ）Ｓｉｔ）在五下是鞅以及式（８），我们有
以。书ｏ）＿爵［Ｄ∽）｜趴ｏ］＿
Ｓ（ｔ）一ＫＢ（ｔ，Ｔ）
（２３）
定义３．１使得式（２３）中在时刻ｔ（０≤ｔ≤Ｔ）
的远期合约价格为０的Ｋ的值称为丁一远期价格。
记为：Ｆｏｒ，（妒）棚胁小，丁）＝器。
Ｂ（ｔ，丁）Ｅ１（ＦｏＬ（ｔ，Ｔ）ｅｘＰ｛盯：（旷（丁）一
万旷方（数ｆ）据）一扣ｉ（丁一ｆ））一Ｋ）＋Ｊ Ｆ（≠）］＝
Ｂ（ｔ，ｒ）Ｅ７［（ＦｏＬ（ｔ，Ｔ）ｅｘＰ（一矿：石ｙ一 下１盯：２丁）一Ｋ）＋ｌ Ｆ（ｔ）］。
其中：ｙ：一—Ｗ—ｒ—（—Ｔ—）＿＝二－二二Ｗ＝—ｒ（一ｔ），丁：丁一ｔ。 √１一ｔ
０≤ｔ≤Ｔ
（９）
式（９）中
ｃ（ｔ，丁）：———堂血阜型—一 ｙｃｏｓｈ（ｙ（Ｔ—ｔ））＋｛｝６ｓｉｎｈ（ｙ（丁一ｔ））
（１０）
Ａ（ｔ，丁）＝
ｈ‰（ｙ（ｒ］ 刮—ｙｃｏｓｈ（ｙ（等Ｔ等１ 盯－ｌ
—ｔ））＋和ｓｉｎ —ｔ））Ｊ
ｙ＝丢佩，ｓｉｎｈ ｕ＝！手，ｃｏｓｈ ｕ＝
—ｒ。
证明 由于Ｒ是由随机微分方程（７）给出，故 为马尔可夫过程，从而必有哑变量ｔ和ｒ的某个函数 八ｔ，ｒ），使得：
假定其满足ｄＦｏｒｓ（ｔ，ｒ）＝盯：Ｆｏｒ，（ｔ，ｒ）ｄ护（ｔ），盯： 是常数。则该资产的到期日为丁、敲定价格为Ｋ的
欧氏看涨期权在时刻ｔ∈［０，Ｔ］的价值为： Ｖ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）Ｎ（ｄ＋（ｔ））一ＫＢ（ｔ，Ｔ）Ｎ（ｄ一（ｔ）） （３０）
ｄ。（ｔ）＝：＝＿了专≠三亏［１９半±刁１ｒ盯；（丁一ｔ）】 式（３０）中ｄ＋（ｔ）是由式（３１）给出的适应过程：
去忑■Ｊ一（一。虿１ｅｘｐ ｉ一虿（∽ｙ＋盯盯√万丁））ｊ２ｄｙ卜— ＫＮ（“们＝去亡幻～唧｛＿
丢２）ｄｙ—ＫＸ（ｄ一（ｔ））：搿Ｎ（ｄ＋（ｔ））一
ＫＮ（ｄ一（ｔ））。
其中：ｄ＋（ｔ）＝ｄ一（ｔ）＋盯万。
昕Ｄｊ
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沈惟维，等：基于ＣＩＲ利率模型下的期权定价
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ｇ（ｔ，Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ））＝Ｅ１（Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）ｅｘｐ｛＿盯万ｙ—
孙）…ｐ｛＿ｆ耶）州小虿１ Ｊ。ｔ爿２㈤ｄｓ）
（２）
形（ｔ）＝形（ｔ）＋Ｊ日（ｓ）ｄｓ
（３）
并且假设：
Ｅ Ｊ日２（ｓ）ｚ２（ｓ）ｄｓ＜ｏＤ
（４）
令Ｚ＝Ｚ（Ｔ），则ＥＺ＝１。定义测度Ｐ：
Ｐ（Ａ）＝Ｊ Ｚ（∞）ｄＰ（∞），ＹＡ∈Ｆ
（５）
则在此测度下，过程Ｗ（ｔ），０≤ｔ≤Ｔ是一个布朗运 动。
定义１．２ Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理中的测度称为风险中 性测度。（它是一个概率测度，等价于原测度Ｐ。）
摘要讨论了利率演化服从ＣＩＲ模型时，以零息债券作为计价单位，利用远期测度的方法给出欧氏看涨期权的定价公式，并
给出其一般性的证明。
关键词ＣＩＲ利率模型 风险中性定价公式 欧氏看涨期权 远期测度
中图法分类号１７８３０．９；
文献标志码Ａ
经典的Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式中假定利率 是常数，而现实市场中利率往往是随机的，利率变动
定义２．１（零息债券）许诺在确定的到期日Ｔ 支付一定数量“面值”（通常取为１）的一份协议。其 价格记为Ｂ（ｔ，Ｔ），０≤ｔ≤Ｔ。根据风险中性定价 公式，Ｂ（ｔ，Ｔ）应该满足：
Ｂ（ｔ，丁）２卉［Ｄ（丁）ｌ Ｆ（ｔ）］（８）
定理２．２在ＣＩＲ利率模型下，零息债券有如
下定价公式：
Ｂ（ｔ，Ｔ）＝ｅｘｐ｛一Ｒ（ｔ）Ｃ（ｔ，Ｔ）一Ａ（ｔ，Ｔ）｝，
令如戈）＝新（一ｐ｛＿析ｙ一弘１ ２丁｝＿Ｋ）＋］。
我们看到Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）是Ｆ（ｔ）一可测，
ｅｘｐ｛一盯万ｙ一虿１盯：２丁｝独立与Ｆ（ｆ），由独立性引
理可知存在函数ｇ（ｔ，搿）使得 ｇ（ｔ，ＦｏＬ（‘，ｒ））＝云７［（ＦｏＬ（ｆ，ｒ）ｅｘｐ｛一盯√彳Ｉ，一
ｉ虿１盯盯２２２丁丁｝｝一一ＫＫＪ）＋ｌｌ，Ｆ（㈣ｔ）Ｊ］。
２００９年１１月１３日收到
第一作者简介：沈惟维（１９８４一），男，汉族，安徽无为县人，暨南大学
经济学院统计学系研究生，研究方向：数理金融与精算学。Ｅ—ｍａｉｌ： 万方数据
ｗｗｓｈｅｎｌ９８４＠１６３．ｔｏｍ。
定理，关于其证明可参考文献［３］。在文献［４］中给 出了此定理的更
一般情形下的证明。 定理１．１ （Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理）设日（ｔ），０≤ｔ≤Ｔ 是一个适应过程。
ｉ了１ｒ盯盯２２２丁 丁｝｝一 一ＡＫＪ）＋ｌｌ，Ｆ（Ｌｔ）Ｊ］：Ｊ＝Ｆ， ｏｒ。（ｓｔＬ，， 丁）Ｎ（ｄ＋（ｔ））一ＫＮ（ｄ一（ｔ））。 于是
Ｖ（ｔ）＝Ｂ（ｔ，Ｔ）Ｅ１（Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）ｅｘｐ｛＿盯２石ｙ—
ｉ１盯：２丁｝一Ｋ）＋ｌ Ｆ（ｔ）］：Ｂ（ｔ，Ｔ）Ｆｏｒｓ（ｔ， 丁）Ｎ（ｄ＋（ｔ））一ＫＢ（ｔ，Ｔ）Ｎ（ｄ一（ｔ））＝ Ｓ（ｔ）Ｎ（ｄ＋（ｔ））一ＫＢ（ｔ，Ｔ）Ｎ（ｄ一（ｔ））。 定理证毕。
的影响是很重要的。关于利率模型常见的有
ｒ１］
Ｖａｓｉｃｅｋ模型…Ｃｏｘ，Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ ａｎｄ Ｒｏｓｓ模型（ＣＩＲ模
型）心Ｊ。Ｖａｓｉｃｅｋ模型有闭形式的解，利率有均值回
复的性质，但总有正概率使得利率取负值，这是不合 理的。ＣＩＲ模型也有均值回复的性质，利率不会取 负值，虽然没有闭形式的解，但我们可由Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ 模拟逼近，这不在本文讨论范围之内。
对于原生资‘ 产ｓ（ｔ一），远期价。。。 格而“ｔ一，丁）：
则云ｒ 万（方ｙ数）据：云（ｙｚ（ｔ））。更罟斋的波动率只与ｓ（ｔ）有关，并且在远期测度
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科学技术与工程
１０卷
下的远期价格是鞅‘３｜，Ｗｒ（ｔ）是远期测度下的用于 推导资产价格的布朗运动，因此我们有
ｄＦｏｒ。（ｔ，Ｔ）＝ｏｒ２Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）ｄ Ｗ７（ｔ），ｏｒ２是常数。 定理４．１设Ｓ（ｔ）是以货币计量的资产价格，
５小结
本文是基于文献［３］，主要目的是给出定理４．１ 在一般的ｔ的证明，文献［３］只给出ｔ＝０时的证明。 文献［３］说只需修改ｔ＝０时的证明就可以得出一般
的证明，我们认为这样不易做到，需要另辟蹊径。我 们的证明中用到了独立性引理。实际上，定理４．１ 是个一般情况下的定理，它不依赖于利率所服从的 模型，本文为了容易说明，选择了ＣＩＲ利率模型。另 外，本文所给出的证明方法具有一般性，是处理条件 期望的一种有效方法。定理４．１必须在原生资产 弘远期价格具有常数波动率的假设下才适用，此时 欧氏看涨期权才有较为简单的定价公式。
我们猜测式（１４）的解具有如下形式：
八ｔ，ｒ）＝ｅｘｐ｛一ｒＣ（ｔ，Ｔ）一Ａ（ｔ，Ｔ）｝ （１６）
则
［（一Ｃ’（ｔ，丁）＋ｂＣ（ｔ，Ｔ）＋ｉＩ ２．Ｃ２（ｔ，Ｔ）一１）ｒ一
厶
Ａ’（ｔ，Ｔ）一ａＣ（ｔ，Ｔ）抓ｔ，ｒ）＝０
（１７）
由于上式对所有ｒ成立，故等式中ｒ前面的因子必为
０且另一项也为０，从而得到自变量为ｔ的两个常微
五７。证毕。
驴［以驯即）］＝而新［咿）× 由引理３．４和式（６），我们有
Ｄ（驯即）］＝未而附）
（２８）
即Ｖ（ｔ）＝Ｂ（ｔ，Ｔ）Ｅ１Ｖ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］
（２９）
我们称式（２９）为弘远期测度下的资产定价
公式。
４ ｃＩＲ利率模型下的期权定价
蝥引竺理也３有．ｚ３Ｓ给 ‘定 ：．０≤＝Ｅｔ（引≤以Ｔ，‘ｙ？，是’Ｆ（？ｔｊ）：一≤可一测 ｒ Ｏ， 。
假设市场模型无套利且是完全的。我们用
Ｒ（ｔ）表示短期利率。（Ｑ，Ｆ，Ｐ）是概率空间， Ｗ（ｔ），０≤ｔ≤Ｔ是其上的一维标准布朗运动。域
流Ｆ（ｔ），０≤ｔ≤Ｔ是由该布朗运动生成。定义贴 现过程：
／，ｔ
Ｄ（ｔ）＝ｅｘｐ｛一Ｊ Ｒ（ｓ）ｄｓ｝
（１）
１ 风险中性定价公式
关于风险中性定价公式可参考文献［３］，那里 有较详细的论述。我们先不加证明的给出Ｇｉｒｓａｎｏｖ
分方程：
Ｃ’（ｔ，丁）＝６Ｃ（≠，Ｔ）＋ｉ１ ２．Ｃ２（ｔ，Ｔ）一１（１８） 厶
Ａ’（ｔ，Ｔ）＝一ａＣ（ｔ，Ｔ）
（１９）
这两个方程还满足终值条件：
Ｃ（丁，Ｔ）＝Ａ（Ｔ，Ｔ）＝０
（２０）
这是因为八丁，ｒ）＝ｅｘｐ｛一ｒｃ（丁，丁）一Ａ（丁，丁）｝＝
１对所有ｒ都成立，故必有式（２０）成立。下面只需解
这两个常微分方程即可得出式（１０），式（１１），这里
证明
Ｅ７（ｙ）＝Ｅ（ｙｚ）＝Ｅ［Ｅ（ｙｚ Ｆ（ｔ））］＝
Ｅ［ＹＥ（ｚ Ｆ（ｔ））］＝Ｅ（ｙｚ（ｔ））。 引理３．４给定０≤ｔ≤Ｔ，Ｖ（Ｔ）是Ｆ（丁）一可 测，则
ｉＶ［ｖ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］＝永１‘Ｊ Ｅ［Ｖ（Ｔ）Ｚ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］
（２７）
证明 由于ｚ（－ｂ－ｋ［ｖ（Ｔຫໍສະໝຸດ BaiduＺ（Ｔ）ｌ Ｆ（ｔ）］为
Ｆ（ｔ）一可测，我们只需验证：
定理１．３ （风险中性定价公式）对于衍生证 券在时刻ｔ的价格Ｖ（ｔ），我们有风险中性定价 公式：
Ｖ（ｔ）＝耔［Ｄ（丁）咿）ｌ Ｆ（ｔ）］，０≤ｔ≤Ｔ
（６）
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１０卷
式（６）中ｙ（丁）是Ｆ（丁）一可测随机变量，它表示在时 刻丁衍生证券的支付。
证明见参考文献［３］。
２ ＣＩＲ利率模型下的零息债券定价
（３１）
ｍ）２去ｆ。ｅ等出＝去ｐ孚出（３２）
Ｂ（ｔ，Ｔ）满足式（９）。 证明文献［３］给出了在ｔ＝０时的证明，这里 我们运用独立性引理给出一般的ｔ的证明。由
Ｆｏｒ，（妒）＝器知Ｆｏｒ，（０㈣＝器，于是
ｄＦｏｒ。（ｔ，Ｔ）＝ｏｒ２Ｆｏｒ。（ｔ，Ｔ）ｄ Ｗ７（ｔ）的解为：
Ｆｏｒ，（妒）＝器ｅｘｐ（盯：护㈤一弘１ ２ｔ）ｏ
定义３．２设丁是固定到期日，定义丁一远期测 度：
Ｐｒ（Ａ）＝百ｒ寻＿万ＪｌＤ（丁）ｄ五，ＶＡ∈Ｆ（２４）
云在这由五于里［７Ｅ下Ｂ丛（７我，丁（任ｘ辫们，何）丁２令随ｌ卉）机＝ｚＦ变［１（＝，肋ｔ量器）贝］ｘ（， 的。Ⅱ丁期ｏ≤ｚ再望）＝ｔ值］≤ ｚ△（＝为丁ｔＥ）：邵（，朋且）＝）望觜１辫２（５，２＝６））