2020高考总复习 三角恒等变换课件 精品
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第十九讲 三角恒等变换
回归课本
1.三角恒等变换主要包括 角的变换､函数名称的变换､常数的变换､幂的变换和式子结
构的变换.
2.半角公式
1用cos表示sin2 , cos2 , tan2 sin2 1 cos ;
2
2
22
2
cos2 1 cos ; tan2 1 cos .
2
2
2 1 cos
2
5.和差化积公式 (1)sinθ+sinφ=2sin (2)sinθ-sinφ=2cos (3)cosθ+cosφ=2cos (4)cosθ-cosφ=-2sin
cos ;
2 cos 2 ;
2 cos 2 ;
2
2
cos ;
2
2
考点陪练
1. 2sin2 gcos2 等于
解析 : 原式 tan70gcos10 3sin10tan70 2cos40
tan70(cos10 3sin10) 2cos40 2tan70gsin40 2cos40
2
sin70o cos70o
gsin40o
cos
40o
2gsin70osin40o cos40ocos70o cos70o
1 cos2 cos2 A.tan B.tan2
C.1
D. 1
2
解析 : 2sin2 gcos2 2sin2 g1 cos2 tan2. 1 cos2 cos2 1 cos2 2cos2
答案:B
2.若sin
6
1 3
,
则cos
2
3
2 等于
A. 7 9
B. 1 3
C. 1
D. 7
3
9
解析
1 sin
2
cos
Байду номын сангаас
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
2
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
2 2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
2cos .
2
[反思感悟]三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次 数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉 根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.
:
cos
2
3
2
cos
2
6
cos 2
6
2sin2
6
1
7 9
.
答案:A
3.若 cos2
sin
4
2 ,则cos sin的值为
2
A. 7 2
B. 1 2
C. 1
D. 7
2
2
解析 :Q cos2 cos2 sin2 2 ,
sin
4
2 (sin cos )
2
2
得cos sin 1 ,故选C.
6
[反思感悟]给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函 数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关 键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角 和､差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所 给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程 中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是 常用工具.
类型二
三角函数式的求值
解题准备:三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值､给值求值､给 值求角.
①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三 角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数 的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以 备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函 数值代入,从而达到解题的目的.
2gccooss17100o o 2gccooss7700oo 2.
答案:2
类型一
三角函数式的化简
解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将 多种形式的角尽量统一､减少角的个数);二是三角函数名 称的变换(即尽量减少､统一函数名称,如“切化弦”).具体 问题中可双管齐下,整体变换.
【典例1】已知 3 ,化简 :
2
1 sin
1 sin
.
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
[解]因为 3 ,所以 3 .
2
22 4
1 cos 2cos2 2 | cos | 2cos ,
2
2
2
1 cos 2sin2 2sin .
2
2
所以原式
1 sin
3
即tan 3或tan 1 ,又 3 ,
34
所以tan 1 为所求.
3
5 1 cos 4sin 11 1 cos 8
2原式
2
2
2cos
5 5cos 8sin 1111cos 16 2 2cos
8sin 6cos 8tan 6 5 2 .
2 2cos
2 2
2用cos表示sin , cos ,tan sin
2 2 22
1 cos ;cos 1 cos ;tan 1 cos .
2
2
2
2 1 cos
3用sin,cos表示tan tan sin 1 cos .
2 2 1 cos sin
3.万能公式
sin2 2tan ;cos2 1 tan2 ;tan2 2tan .
2
答案:C
4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()
A.3-cos2x
B.3-sin2x
C.3+cos2x
D.3+sin2x
解析:∵f(sinx)=2+2sin2x,
∴f(x)=2+2x2.
∴f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.
答案:C
5.cot20cos10 3sin10tan70 2cos40 ________ .
③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次 判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
【典例2】已知 3 , tan cot 10 .
4
3
1 求tan的值;
5sin2 8sin cos 11cos2 8
2求 2
22
2 的值.
2sin
2
[解]1由tan cot 10 得3tan2 10tan 3 0,
1 tan2
1 tan2
1 tan2
4.积化和差公式
(1)sinαcosβ= (2)cosαsinβ= (3)cosαcosβ= (4)sinαsinβ=-
1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 12 [sin(α+β)-sin(α-β)];
2
1 [cos(α+β)+cos(α-β)];
2
1 [cos(α+β)-cos(α-β)].
回归课本
1.三角恒等变换主要包括 角的变换､函数名称的变换､常数的变换､幂的变换和式子结
构的变换.
2.半角公式
1用cos表示sin2 , cos2 , tan2 sin2 1 cos ;
2
2
22
2
cos2 1 cos ; tan2 1 cos .
2
2
2 1 cos
2
5.和差化积公式 (1)sinθ+sinφ=2sin (2)sinθ-sinφ=2cos (3)cosθ+cosφ=2cos (4)cosθ-cosφ=-2sin
cos ;
2 cos 2 ;
2 cos 2 ;
2
2
cos ;
2
2
考点陪练
1. 2sin2 gcos2 等于
解析 : 原式 tan70gcos10 3sin10tan70 2cos40
tan70(cos10 3sin10) 2cos40 2tan70gsin40 2cos40
2
sin70o cos70o
gsin40o
cos
40o
2gsin70osin40o cos40ocos70o cos70o
1 cos2 cos2 A.tan B.tan2
C.1
D. 1
2
解析 : 2sin2 gcos2 2sin2 g1 cos2 tan2. 1 cos2 cos2 1 cos2 2cos2
答案:B
2.若sin
6
1 3
,
则cos
2
3
2 等于
A. 7 9
B. 1 3
C. 1
D. 7
3
9
解析
1 sin
2
cos
Байду номын сангаас
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
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2
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2
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2
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2 2
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2
sin
2
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2
2cos .
2
[反思感悟]三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次 数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉 根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.
:
cos
2
3
2
cos
2
6
cos 2
6
2sin2
6
1
7 9
.
答案:A
3.若 cos2
sin
4
2 ,则cos sin的值为
2
A. 7 2
B. 1 2
C. 1
D. 7
2
2
解析 :Q cos2 cos2 sin2 2 ,
sin
4
2 (sin cos )
2
2
得cos sin 1 ,故选C.
6
[反思感悟]给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函 数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关 键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角 和､差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所 给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程 中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是 常用工具.
类型二
三角函数式的求值
解题准备:三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值､给值求值､给 值求角.
①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三 角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数 的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以 备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函 数值代入,从而达到解题的目的.
2gccooss17100o o 2gccooss7700oo 2.
答案:2
类型一
三角函数式的化简
解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将 多种形式的角尽量统一､减少角的个数);二是三角函数名 称的变换(即尽量减少､统一函数名称,如“切化弦”).具体 问题中可双管齐下,整体变换.
【典例1】已知 3 ,化简 :
2
1 sin
1 sin
.
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
[解]因为 3 ,所以 3 .
2
22 4
1 cos 2cos2 2 | cos | 2cos ,
2
2
2
1 cos 2sin2 2sin .
2
2
所以原式
1 sin
3
即tan 3或tan 1 ,又 3 ,
34
所以tan 1 为所求.
3
5 1 cos 4sin 11 1 cos 8
2原式
2
2
2cos
5 5cos 8sin 1111cos 16 2 2cos
8sin 6cos 8tan 6 5 2 .
2 2cos
2 2
2用cos表示sin , cos ,tan sin
2 2 22
1 cos ;cos 1 cos ;tan 1 cos .
2
2
2
2 1 cos
3用sin,cos表示tan tan sin 1 cos .
2 2 1 cos sin
3.万能公式
sin2 2tan ;cos2 1 tan2 ;tan2 2tan .
2
答案:C
4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()
A.3-cos2x
B.3-sin2x
C.3+cos2x
D.3+sin2x
解析:∵f(sinx)=2+2sin2x,
∴f(x)=2+2x2.
∴f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.
答案:C
5.cot20cos10 3sin10tan70 2cos40 ________ .
③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次 判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
【典例2】已知 3 , tan cot 10 .
4
3
1 求tan的值;
5sin2 8sin cos 11cos2 8
2求 2
22
2 的值.
2sin
2
[解]1由tan cot 10 得3tan2 10tan 3 0,
1 tan2
1 tan2
1 tan2
4.积化和差公式
(1)sinαcosβ= (2)cosαsinβ= (3)cosαcosβ= (4)sinαsinβ=-
1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 12 [sin(α+β)-sin(α-β)];
2
1 [cos(α+β)+cos(α-β)];
2
1 [cos(α+β)-cos(α-β)].