平行与垂直复习(公开课精华)

a ,b ,且a b P a , b , 且 a b P / / . a / / a , b / /b


a
P b
a
a / / , a , 且 b a / / b .
D
C
平行与垂直的证明
例 7. 如图 , 在四棱锥 P ABCD中, AB AD , BC / / AD , AD 4, PA AB BC 2, PA 平面 ABCD , E , F 分别是 PD , PC 的中点. (1) 求证 : CD 平面 PAC ; (2) 求证 : BF / / 平面 ACE .
P
A
O a
平行与垂直的证明
五、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理的逆定理 19.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
如图,已知:a , PO , O 为垂足, PA A , a PA. 求证:a AO . 垂直于斜线就垂直于射影 证明: PO , a , a PO , 又 a PA , PA PO P , a 平面 POA ,
A1 B1
E A D B F
C1
(1) 证法1: 线线平行 线面平行
连 B1C , 证 : EF / / AC ;
(1) 证法 2: 面面平行 线面平行
C
取 BB1 的中点 D , 证 : 平面 DEF / / 平面 ABC ;
(2) 证法 : 线面垂直 线线垂直
连 A1B , 证 : AB1 A1B , AB1 BC1 , AB1 平面 A1BC1 A1C1 AB1 , A1C1 平面 ABB1 A1 .
a / /b , a b .
15.垂直于同一直线的两平面平行.

a
a , a / / .


平行与垂直的证明
四、平行与垂直的相互转化
16.如果一条直线垂直于两平行平面中的一个 平面，那么该直线也垂直于另一个平面.
a
/ / , a a .
P
E A D M
(1) 证法1: 线线平行 线面平行 取 PA的中点 E , 证 : MN / / DE ;
N
(1) 证法 2: 面面平行 线面平行 取 AB的中点 F , 证 : 平面 MNF / / 平面 PAD ;
B
F
(2) 证法 : 线面垂直 面面垂直
BC AB . 证 : BC 平面 PAB . BC PA
a , b , 且 a b P / / . a / / ,b / /

P
b

平行与垂直的证明
二、平行的判定与性质 3.线线平行 面面平行 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面 内的两条相交直线平行，则这两个平面平行.
P b 4.线面平行 线线平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
证 : MN / / A1D , A1D 平面 AD1P ;
(1) 证法 2: 三垂线定理
D1 A1
P
C1
Nபைடு நூலகம்
证 : MN / / A1D , A1D AD1 ;
(2) 证法 : 线面平行 面面平行
证 : 平面 MNP / /平面 B1CD1 / /平面 A1BD.
B1
平行与垂直的证明
例 4. 如图 , 在三棱锥 P ABC 中, AC AB 4 , PB PC BC 5, PA 3 , D , E 分别 是 BC , AC 的中点 , F 为 PC 上的一点 , 且 PF : FC 3:1.
F B D
A E
点G 为 PC 的中点, 则点 F 为GC 的中点, 三角形的中位线证 : DE / / AB , EF / / AG . 平面 ABG / /平面 DEF .
C
平行与垂直的证明
例 5. 如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,已知 AB1 BC1 , AB BB1 , 设 E , F 分别为 AB1 , BC1 的中点. (1) 求证 : EF / / 平面 ABC ; (2) 求证 : A1C1 AB .
D1
M
C1 (1) 证法1: 线线平行 线面平行 B1
A1
D A
证 : BM / / D1O ;
(1) 证法 2: 面面平行 线面平行
C
证 : 平面 A1BC1 / /平面 D1 AC ;
(2) 证法 : 线线垂直 线面垂直
O
E
D1O AC D1O AC . 证: . 或证 : D1O AB1 A1E AB1 D1O OB1


17.如一个平面垂直于两平行平面中的一个 平面，那么该平面也垂直于另一个平面.

a
/ / , .
平行公理:a / /b , b / / c a / / c .


a / /b , b c a c .
平行与垂直的证明
五、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理 18.在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
P
(1) 证法: 线线平行 线面平行 证 : AB / /CD ;
B
A D A
(2) 证法 : 线线垂直 线面垂直
C E
如图, 在直角梯形 ABCD中, 证明: AC BC ,
B
由PA 平面 ABCD PA BC ,
PA AC A , BC 平面 PAD .
a ,b ,且 a b P . l , 且l a , l b
10. 线面垂直 线线垂直 性质定理

l

a
Pb
如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线 与这个平面内的任意一条直线垂直.
a
a , 对任意的b a b .

P
A
O a
又 AO 平面 POA , 你会用三垂线定理及其逆定理 求作二面角的平面角吗？ a AO .
平行与垂直的证明
例1. 如图 ,已知四棱锥 P ABCD中, 底面 ABCD 是正方形 , PA 平面 ABCD , 点 M 是的 CD 中点, 点 N 是 PB 的中点. (1) 求证 : MN / / 平面 PAD ; (2) 求证 : 平面 PAB 平面 PBC .
8. 线面垂直 面面垂直 判定定理

a

P
b
如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直， 则这两个平面互相垂直.
a ,且 a .

a
平行与垂直的证明
三、垂直的判定与性质 9.线线垂直 面面垂直 判定定理
如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这两个平面垂直.
平行与垂直
一、知识结构网络
平行与垂直的相互转化
平行关系
垂直关系
1. a , b a / /b . 2. a , a / /b b . 平面几何 平面几何 3. a , a / / . 4. / / , a a . 线线平行 5. / / , .

b


/ / , 且 a, b a / / b .
a
平行与垂直的证明
三、垂直的判定与性质 7.线线垂直 线面垂直 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么该直线与此平面垂直.
l
a ,b ,且a b P l . l a ,l b
P
(1) 求证 : PA BC ;
(2) 试在 PC 上确定一点 G , 使得平面 ABG / / 平面 DEF .
(1) 证法: 线面垂直 线线垂直 勾股定理 PA AB , PA AC , PA 平面 ABC PA BC ;
G
(2) 证法: 线线平行 面面平行
线线垂直
线面平行
面面平行
线面垂直
面面垂直
平行与垂直的证明
二、平行的判定与性质 1.线线平行 线面平行 判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， a 则该直线与此平面平行.
a , b , 且 a / /b a / / .
2.线面平行 面面平行 判定定理

b
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 平行，则这两个平面平行. a

a
b
平行与垂直的证明
二、平行的判定与性质

a
5.面面平行 线面平行 性质定理

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一条直线必平行另一个平面.
/ / , 对任意的 a / / .
6. 面面平行 线线平行 性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行.
如图,已知:a , PO , O 为垂足, PA A , a AO . 求证:a PA. 垂直于射影就垂直于斜线 证明: PO , a , a PO , 又 a AO , AO PO O , a 平面 POA , 又 PA 平面 POA , a PA.
b
平行与垂直的证明
三、垂直的判定与性质 11. 面面垂直 线面垂直 性质定理
如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于 这两个平面交线的直线必垂直另一个平面.

, 且 l a . a ,a l

a
l

12. 面面垂直 线线垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么一个平面内 垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面 内的所有直线垂直.
B
平行与垂直的证明
例 3. 如图 , 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M , N , P 分别是 线段 CC1 , B1C1 , C1D1 的中点. (1) 求证 : AP MN ; (2) 求证 : 平面 MNP / / 平面 A1BD .
D A B
C
M
(1) 证法1: 线面垂直 线线垂直
C
平行与垂直的证明
例 2. 在如图的长方体 ABCD A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 , O 为 AC 与的 BD 交点, BB1 2 , M 是线段 B1D1 的中点. (1) 求证 : BM / / 平面 D1 AC ; (2) 求证 : D1O 平面 AB1C .
平行与垂直的证明
例 6. 如图 ,已知四棱锥 P ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形 , AB / / DC , ABC 45 , PA DC 1, AB 2 , PA 平面 ABCD . (1) 求证 : AB / / 平面 PCD ; (2) 求证 : BC 平面 PAC .

, 且 l , a , a b. a l , 对任意的b .
a
l

b
平行与垂直的证明
四、平行与垂直的相互转化 13.垂直于同一平面的两直线平行.
a b

a , b a / /b .
14.如果两平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面. a b
P
(1) 证法 : 线线垂直 线面垂直
F E
N
A B A
如图, 在直角梯形 ABCD中, 证明: AC CD , 由PA 平面 ABCD PA CD , D PA AC A , CD 平面 PAC ;
O
C M
(2) 证法1: 线线平行 线面平行
D
证 : BO / / FE , BO FE BF / /OE . (2) 证法 2: 面面平行 线面平行 取 PA的中点 N , 证 : 平面 BFN / / 平面 ACE .