从一道数学题看学生的发散性思维

从一道高考数学试题探索学生发散性思维的培养

新昌县知新中学 黄永锋 [摘要] 思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性，教学要

有意识地抓住思维特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，又是提高数学教学质量的重要一环。本文结合教学实践从一道数学题出发从不同的方向、多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径，以培养学生的发散思维。

[关键词]数学 思维 能力 培养

发散性思维是沿着不同的方向对已有的的信息重新进行组织，探求新的答案的思维方式。以知识和智力为基础的创造性思维，它的显著特征是求异.这是一种不依常规,大胆设想,从同一信息来源,沿着各种不同方向变化,产生为数众多的输出,以探索尽可能多的答案的思维方式。这种思维方式,不受现成知识的局限,不受传统方式的束缚,其结果由已知导致未知。美国教育学指出：“创造力=知识量+发散性思维”。徐利治教授也曾讲过：“数学的新思想，新概念和新方法往往来源于发散性思维”。发散性思维是创新思维的核心，没有思维的发散就算不上思维的集中求异和独创。因此，在中学数学中重视培养学生的发散性思维能力是很重要的，只有通过发散性思维的培养，才能培养出学生的创新能力。

《2015年浙江省普通高考考试说明（理科）》中的数学科部分考试内容的能力要求中明确规定：要求学生“会对问题进行比较分析综合抽象与概括——即思维能力要求；运算求解能力：会根据其中法则和公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，有分析运算条件探究运算方向，选择运算公式确定运算程序；还有创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路。”这些能力的要求都决定了在教授学生知识的同时，应该有意识的培养学生从不同方向看问题的发散性思维。这对学生以后的发展是一种提高和促进。纵观2008年浙江省高考数学（理）第8题的三角函数的选择题，试题设计情景熟悉、入口宽、方法多。笔者从不同的方向、多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。对这题的探讨可以通过纵横发散，使知识串联，达到举一反三、融会贯通的目的。

2008年浙江省高考数学（理）第8题 若cos 2sin αα+=则tan α=（ ）

A 、12

B 、2

C 、12

- D 、2-

命题意图：考查简单的三角变形及其计算。

思维取向一：从同角变换的角度切入

方法(一)由cos 2sin αα+=可知，c o s 0α≠，两边同时平方得

22cos 4sin 4sin cos 5αααα++=，左边除以22cos sin αα+

得2222cos 4sin 4sin cos 5cos sin αααααα++=+，2214tan 4tan 51tan ααα

++=+ 所以2tan 4tan 40αα-+=，解得tan 2α=，故选B

点评

由cos 2sin αα+=，联想把等号左边变成零次，再者22cos sin 1αα+=，本方法比较常规学生很容易想到。 类似地,如直接将正弦、余弦化为正切，则又有下面的思路 如sin tan cos t ααα

==，则sin cos t αα=

，代入cos 2sin αα+=

cos αα==22cos sin 1αα+=，得2t = 数学中常用逆向思维方法，它着眼于事物间的双向性和可逆性，在数学解题中“执果索因”的分析法，是逆向思考的“宠儿”。

思维取向二：从三角函数的角度切入

方法(二

)1cos 2sin ),(tan )2

αααϕϕ+=+=其中

，又cos 2sin αα+=所以sin()1αϕ+=-，即32()2

k k Z παϕπ=-+∈ 所以3sin(2)cos 12tan 23sin tan cos(2)2

k k πϕπϕαπϕϕ

ϕπ-+====-+，故选B 点评

公式sin cos ),(tan )b a b a

αααϕϕ+=+=其中是解决这类问题较常见的方法，但学生使用时对ϕ的确定感到拿不定主意，这是概念不清造成失误，再加上新教材已知三角函数值求角不作要求，所以学生基本上能想到，但解决不了。

思维取向三：从诱导公式的角度切入

方法(三)由方法(二

)cos 2sin )αααϕ+=+

，得c o s 2s in αα+=左平移

2π个单位得cos()2sin()022

ππαα+++= 即sin 2cos 0αα-+=，从而得tan 2α=，故选B

点评 本方法在构思中比较独特，让人有拍案叫绝之感，利用平移的思想转移问题的切入口，使问题得到巧妙地解决，这取决于对问题的深入研究。

思维取向四：从柯西不等式的角度切入

方法（四）根据柯西不等式，22222(cos 2sin )(12)(cos sin )5αααα+≤++=

即cos 2sin αα+≥cos 1sin 2

αα=时等号成立，从而得然tan 2α=，故选B

点评 柯西不等式作为人教版选修4-5《不等式选讲》中的内容在中学数学中的应用比较广泛，它是异于均值不等式的另一个重要不等式，此方法上选修内容时讲解感到特新奇，在利用柯西不等式求解，关键就是要构造为柯西不等式的结构特点和形式。

思维取向五：从数列的角度切入

方法（五）分析 由cos 2sin αα+=联想到等差中项的知识，如果2a b u +=，则可设,a u t b u t =+=-

解：由1cos 2sin (2αα+=-，可设2sin ,sin ,242

t t αα=-+=-+即

1

cos (2t α=--，由22cos sin 1αα+=，得22()()1422

t t -++--=

解得t =，则sin α=cos α=，所以tan 2α=，故选B 点评 无论是解题思维，还是文化底蕴，都如同小说的故事情节，让人回肠荡气，引人入胜。解题过程中，思考过程并非一帆风顺，往往曲曲折折，探究过程有如王安石在褒禅山所经历的那样，当我们体会到那种由于曲径通幽而令人回肠荡气时，反思一番在所难免。

思维取向六：从三角函数的定义的角度切入 方法（六）由三角函数定义得sin ,cos y x r r

αα==，其中222x y r +=

则cos 2sin αα+=2x y r r

+=22(2)5x y r += 即222(2)5()x y x y +=+，化简得2y x =，所以tan 2y x

α==，故选B 点评 从三角函数的基本定义入手，则问题可以转化为定义中的几个基本元素之间的关系式；显而易见，真正理解数学概念的本质涵义，对于解决数学问题有很大的促进作用。因为一切的数学性质无不是从基本概念出发而逐步发展的，是否真正理解数学概念的内涵，决定了能否很好地运用数学性质，这实际上也是一切数学问题得以解决的基本前提。

思维取向七：从平面向量的角度切入

方法（七）令向量(1,2),

a b αα== ，则

|||c o 5c o s 5

a b a θθ⋅=⋅=