《高阶微分方程》word版

第五章高阶微分方程

§1 几个例子

一、【内容简介】

本节结合几个具体的实例，介绍了与高阶微分方程有关的定解条件、定解问题和高阶微分方程的降阶技巧。

二、【关键词】自治微分方程

三、【目的与要求】

掌握高阶微分方程的降阶技巧，能熟练地运用降阶法解二阶方程，会用已有知识建立高阶微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。

四、【教学过程】

§2 n维线性空间中的微分方程

一、【内容简介】

在这一节里，主要介绍如何把n阶微分方程式化为标准微分方程组并采用向量的记号，将标准微分方程组写成向量的形式，从而可以从理论上把n维向量形式的微分方程的研究与一阶微分非常的研究统一起来。

二、【关键词】模；线性微分方程组

三、【目的与要求】

掌握将高阶微分方程化成等价的n阶标准微分方程组的方法；会叙述n维向量形式的微分方程和n阶线性微分方程组相应的毕卡存在和唯一性定理；掌握n 阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

四、【教学过程】

§3 解对初值和参数的连续依赖性

一、【内容简介】

在这一节里，主要讨论解对初值和参数的连续依赖性，由于解对初值和参数的连续依赖性问题可归结为解对参数的同一问题。因此我们只讨论方程的解对参数的连续依赖性。

二、【关键词】参数；连续依赖性

三、【目的与要求】

解对初值和参数的连续依赖性定理揭示了微分方程的解的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】

§4 解对初值和参数的连续可微性

一、【内容简介】

本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。

二、【关键词】 连续可微性；变分方程 三、【目的与要求】

与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】 教学过程

前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于高阶微分方程没有较为普遍的解法，下面我们通过例题介绍几种高阶微分方程的解法。这些解法的基本思想就是把高阶微分方程通过某些变换降为低阶的微分方程。

§1 几个例子

若方程不明显包含字变量，即：

0),,,()('=n y y y F （1）

这类方程叫作自治（或驻定）微分方程。

若方程明显包含字变量，即：

0),,,,()

('

=n y

y y x F （2）

这类方程叫作非自治（或非驻定）微分方程。

对于（1）可考虑降阶。令

dx

dy z =

，则 ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=⋅⋅+⋅==⋅=⋅==--),,,()()()(1122332222n n n n dy z d dy dz dx y d dy dz dy z d dx dy dy dz dy dz dx dy dy dz

dy d dy dz dx d dx

y d dy dz dx

dy dy dz dx dz dx y d z z z z z z ψ

代入（1），则得一个n-1阶的微分方程0),,,,(1

1

1=--n n dy z d dy dz z y F

例

)(2

2x f dt x d = （3）

这是一个二阶的自治方程。令

dt

dx v =，则

dt

dx dt dx dx dv dt dv dt x d v ⋅=⋅==2

2

代入（3）则得一阶方程)(x f v dx dv

=

分离变量积分得1

211212

2

1)()(c X F c dx x f v -=-=⎰ 或 12

)(2c X F v -=

（4） 其中

1c 是常数，)(x F 是)(x f 的一个原函数。

对于固定的

1c ，

（4）是一个一阶微分方程 1)(2c x F dt

dx -±=

分离变量，积分得21),(c t c x G +=， （5）

其中

2c 是第二个常数，而⎰-±

=1

)(21),(c

x F dx c x G ，

称（5）为微分方程（3）的通积分。

例1、 单摆方程

取一根长度为l

的细线OM ，把端点

o 固定在一顶板上，而另一端点M 挂上

一个质量为m 的小球，将小球拉离平衡位置，然后松开，让它在一垂直平面内自由摆动，这样就构成一个单摆。（设单摆除重力外不受其他力的作用）。

设直线OM 与垂线op 的有向夹角为x ，并设逆时针方向为正，则单摆的振

动可以用弧度)(t x x

=来描述，单摆振动时，M 端只能在圆周上运动，且它的

角速度为dt

dx ，切线速度为

dt dx l ⋅，切向加速度为2

2

dt

x d l ⋅。

现将重力

mg 分解到切线T 及向径N 上，在T 上的分力为x mf T sin -=

其中负号的力学意义：T 与x 的方向总是相反的)|(|π

号。

由牛顿第二定律，即可得单摆的运动方程为：

x mg l m dt

x d sin )(2

2-= 或写成 0sin

22

2

=+x a dt x d

（6）

其中常数0>=

l

g a

方程（6）为自治方程，可以用上述方法降阶，令

,,2

2dx

dv dt x d dt dx v v ==

则得

0sin 2=+x a v dx

dv 或写成xdx a dv sin 22

2

1-=

这是一个v 为函数x

为自变量的一阶微分方程，积分得

1212221cos c x a v -=，上式可改写为12cos 2c x a dt

dx -±= （7）

分离变量积分得

21

cos 22c t c x a dx

+=⎰

-±

上式出现了椭圆积分，为了克服这一困难，我们可以利用x sin

的泰勒级数 +-+-=7!

715!513!31sin x x x x x 线性化。即当||x 很小时，x x

≈sin ，可用线性方程 022

2=+x a dt x

d

（8）

来代替方程（6）。

对于方程（8），以dt dx 乘以方程（8），即得022

2=+dt

dx x a dt x d dt dx 对它可以直接积分，得

212222

121)(21c x a dt dx =+ （01≥c ） 或 2

1222)(c x a dt dx =+

于是有

2221x a c dt

dx

-±=