高数第十二章 全微分方程

t F0 (1 ) T
F0
F
F t F0 (1 ) T
o
对方程两边积分, 得
T t
18
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
得 C1 0, 于是
d x F0 t2 (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
5
另解 设u( x, y )满足
u u 4 2 3 5 x 3 xy y , 3 x 2 y 3 xy 2 y 2 x y
第一式对x积分, 得
3 2 2 u x x y xy 3 ( y ) 2
5
8
上式对y求导, 得
u 2 2 2 2 2 3 x y 3 xy '( y ) 3 x y 3 xy y y 1 3 2 所以 '( y ) y ( y ) y 3 3 2 2 1 3 5 3 于是 u( x , y ) x x y xy y 2 3
24
例5. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y,
(一阶线性齐次方程)
d p d p dy dp 则 y p dx d y dx dy
故所求通解为
25
例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由
静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 2 y dt m : 物体质量


17
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且 初速度为0, 求质点的运动规律. 解: 据题意有
0 0
x
y
或 u( x , y ) Q( x , y )dy P ( x , y0 )d x
y0 x0
y
x
6
例1 求解 (5 x 3 xy y )dx (3 x y 3 xy y )dy 0
4 2 3 2 2 2
解 P ( x ) = 5 x 4 3 xy 2 y 3 , Q( x ) 3 x 2 y 3 xy 2 y 2
则称方程(1)为全微分方程.
2
例如对于方程
xdx ydy 0,
1 2 2 xdx ydy d ( ( x y )), 2
所以方程是全微分方程.
全微分方程的判别
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0是全微分方程
P Q y x
3
全微分方程的解法
13
注 : 1. 同一方程可以有不同的积分因子, 例如 ydx xdy 0
1 1 1 1 的积分因子有 2 , 2 , , 2 . 2 x y xy x y 因此, 在具体解题过程中,由于所用的积分
因子不同，从而通解可能具有不同的形式.
2. 在实际解方程时 , 可以采取“分项组合” 的方法,先将那些本身已构成全微分的 项分出,再把剩余的项组合,再考虑积 分因子.
14
例4 求微分方程 (1 xy ) ydx (1 xy ) xdy 0 的通解.
解 分项组合
( ydx xdy) xy( ydx xdy) 0
dx dy 即 d ( xy ) x y ( ) 0 x y d ( xy ) dx dy ( )0 2 2 x y x y 1 1 x 积分得 ln | x | ln | y | C1 或 Ce xy xy y 15
2
1 y 1 y2 a 22
设 OA a, 则得定解问题: 1 2 y a 1 y
dp 令 y p( x), 则 y , 原方程化为 dx
两端积分得 Ar sh p
x a
y
M

H
a A g s o x
Ar sh p ln( p 1 p 2 ) 得 C1 0, C1 ,
2 2
第十二章 第六节 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
16
一、 y ( n ) f ( x) 型的微分方程
解法：连续积分n 次, 可得含 n 个任意常数的 通解 . 例1.
2x y e 解: cos x d x C1 1 2x e sin x C1 2 1 2x x C2 y e cos x C1 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C2 x C3 8
这表明由u( x , y ) C 所确定的隐函数是方程(1)
5
结论 : 如果方程
P ( x, y )dx Q( x, y )dy 0
的左端是函数u( x, y )的全微分, 则
(1)
u( x, y ) C
就是该微分方程的隐式通解.其中C为任意常数.
u( x, y )的求法
u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
故原方程的通解为
3 2 2 1 3 3 x x y xy y C 2 3
5
9
例2
2x y2 3x2 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
P 6 x Q 解 4 , 方程是全微分方程, y y x 1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
得 C2 0
23
则有
两端积分得
x x a xa 故所求绳索的形状为 y a ch ( e e a ) a 2
三、y f ( y, y ) 型的微分方程 d p d y d p 令 y p , 则 y
dx d y dx
故方程化为 设其通解为 p ( y, C1 ), 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 ) 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
两端再积分得 y x 3 3 x C2 利用 y
x0
y x3 3 x 1
21
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
第五节 全微分方程
全微分方程及其解法 积分因子
1
一、全微分方程及其求法
如果一阶微分方程
P ( x, y )dx Q( x, y )dy 0
(1)
的左端恰好是某一个函数u = u( x, y )的全微分 :
du( x, y ) P ( x, y )dx Q( x, y )dy
y l
y
t 0
l , y t 0 0
R
dy d 2 y dv 设v ,则 2 dt dt dt
代入方程得 积分得
o
26
利用 v
2
t 0
y
t 0
0, y
t 0
2k M l , 得 C1 l
1 1 v 2k M , y l
l y dy dy v , dt 2k M l y dt
P Q 2 6 xy 3 y y x 所以方程是全微分方程.
u( x, y) (5 x 3 xy y )dx y 2 dy
4 2 3 0 0
x
y
3 2 2 1 3 3 x x y xy y 2 3
5
7
所以原方程的通解为
3 2 2 1 3 3 x x y xy y C 2 3
y ( x, C1 ) d x C2
20
例3. 求解 解:
(1 x 2 ) y 2x y
y
2
x0
1 , y
x0
3
代入方程得
(1 x ) p 2x p
分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y
x0
二、积分因子法
定义 如果有一个适当的函数 =(x, y)使
( x, y ) P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0
是全微分方程, 则称函数 ( x, y )是方程
P ( x, y )dx Q( x, y )dy 0
的积分因子.
问题: 如何求方程的积分因子?
12
在简单的情形,可用观察法求积分因子.
例3
解
求解方程 ydx xdy 0.
因 x ydx xdy d( ) 2 y y
ydx xdy 1 0 用 2 乘以原方程的两端, 得 2 y y x 就化为一个全微分方程. 又d ( ) 0 y x 所以原方程的通解为 C. y
P ( x, y )dx Q( x, y )dy 0
(1)
其中P ( x , y )dx Q( x , y )dy du( x , y )
如果 y ( x )是全微分方程 1的解, 则有
du( x, ( x )) 0 因此, u( x, ( x )) C
即y ( x )是由u( x, y ) C 所确定的隐函数.
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
2
凑全微 分法
10
有些方程被判定是全微分方程后，不必 按上述一般方法求解，可以采取“分项组合” 的方法,先将பைடு நூலகம்些本身已构成全微分的项分出, 再把剩余的项凑成全微分。一些简单的二元函 数全微分有：
R ) l
28
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为 d2 y o m 2 dt
y
t 0
0 , y t 0 0
R
l
dy 解方程可得 令v ， dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
两端积分得
利用 y
t 0
y l y y l arccos l l , 得 C2 0, 因此有
2
27
k mM d2 y , m 2 2 y dt
y l
R
o
由于 y = R 时 由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR
1 l ( l R R 2 l arccos R 2g
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
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二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p ( x) , 原方程化为一阶方程
设其通解为
则得
p ( x, C1 ) y ( x, C1 )
再一次积分, 得原方程的通解
4
反之, 如果u( x , y ) C 确定一个可微的隐函数 y ( x ), 则
u( x, ( x )) C
u u dy 0 x y dx
两端对x求导,得
即有
亦即
的解.
u u dx dy 0 x y P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
ydx xdy d ( xy ) ydx xdy y d( ) 2 x x ydx xdy x d (arctan ) 2 2 x y y ydx xdy x d( ) 2 y y ydx xdy x d (ln ) xy y ydx xdy 1 x y d (ln ) 2 2 x y 2 x 11 y
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
y
M
H

任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
M 点受切向张力T ( : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 两式相除得 故有
H ) (其中a g
T

θ
A
ρg s
o
x
y 1 a
0
x
1 y d x