几类不同增长的函数模型

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A.气温最高时,用电量最多
B.气温最低时,用电量最少
C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时,用电量随气温降低而增加
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解析:经比较可发现,2月份用电量最多,而2月份气温
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明显不是最高的.因此A项错误.同理可判断出B项错误. 由5、
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跟踪 训练
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题型三 指数型函数模型的应用
例3 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率
为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的
函数关系式.如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试
计算5期后本利和是多少?
应用
2.在实际问题中,如果我们获得了两个变量之间的一组实 验数据,若要建立这两个变量间的函数模型,你认为第一步要 做什么?


解析:通常,我们先要画出散点图,根据散点图判断,两个变量 链
间可能存在的函数模型.

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思考 应用
3.通常,描述增长速度比较平缓的函数模型有哪些?
解析:描述增长速度比较平缓的函数模型有一次函数模型和对数
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基础 梳理
2.一次函数f(x)=ax+b(a>0)在区间 ________ 上是增函数;
二次函数g(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间
____________________


上是增函数.


结 合 它 们 的 图 象 可 知 , 存 在 实 数 x0 , 当 x>x0 时 就 有 ___________.
的强度为y,则y关于x的函数关系式为____y=__a_0_._9_x____.




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题型四 对数型函数模型的应用
例3 已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的 重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设 火箭的最大速度y关于x的函数关系式为:
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(2)判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近 数学模型,对于一般的应用问题,不会让数学模型完全符合,只是
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基本符合,对此,无最优解,只有满意解.
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3.光线通过一块玻璃时,其强度要损失10%,把几块这
样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后
到西红柿种植成本为Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)
的数据如下表:


时间t
50
110
250
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种植成本Q
150
108
150
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点评:对于二次函数模型,根据实际问题建立函数解析式后, 可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数

由计算器算得:y=1 117.68(元).
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答:故复利函数式为y=a(1+r)x,5年后的本利和为1 117.68元.
点评:(1)已给出函数模型的实际应用题时,关键是考虑该题考
查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出பைடு நூலகம்数
关系式,最后结合其实际意义作出解答.
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比较.
解析:(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30, 35),C(30,15)分别代入y1,y2得
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点评:在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次
函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降
(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系 式y=f(x);
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料, 才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s,顺利地把飞船发送 到预定的轨道?
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点评:(1)解决应用问题的基础是读懂题意,理顺数量关系,关 键是正确建模,充分注意数学模型中元素的实际意义.
(自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数模型,利
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用一次函数的图象与单调性求解.


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A.8 000 C.12 000
B.10 000 D.15 000
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解析:本题是一分段函数应用题,函数关系已给出,关键是正确
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的最值,从而解决实际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时 链

特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
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2.如右图,用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的 框架,若半圆半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x), 并写出它的定义域.


(“复利”:即把前一期的利息和本金加在一起算作本金, 再计算下一期利息.)
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解析:1期后y1=a+a×r=a(1+r),
2期后y2=a(1+r)2,…,
则x期后,本利和为:y=a(1+r)x.

将a=1 000元,r=2.25%,x=5 代入上式:
目 链
y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55,
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函数模型.


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自测 自评
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ()
A.y=100x B.y=100ln x C.y=x100 D.y=100·2x

解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,目链
函数 y=100·2x 增长速度最快.故选 D.
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型(一)
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1.复习已学习一次函数、二次函数、反比例与正比例函数 及分段函数的应用.
2.能根据数据正确选择最适合的函数模型,研究相应简单
应用问题.


3.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增链接
6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.
答案:C
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题型一 一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采
用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”
在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的
理解题意,分段取值验算先取 k(n)=0.03,由 0.03(n-5 000)=400 解

n>10
000,故不符合,再取
k(n)=0.04,同样解得
n=15
000,知
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10 000<n<20 000 时,符合题意.


答案:D
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题型二 二次函数模型的应用
例2 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得
长差异.
4.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函 数类型增长的含义.
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基础 梳理
1.常见的几类函数模型有:
(1)一次函数模型;(2)二次函数模型;(3)指数函数模型;(4)
对数函数模型.


例如:一等腰三角形周长为20,则底边长y关于腰长x的函 数解析式是y_=__2_0_-__2_x_(_5_<__x_<__1.0)

答案:D
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自测 自评
2.某工厂六年来生产某种产品的情况是:前三年年产量 的增长速度越来越快,后三年年产量增长速度保持不变,则该 厂六年来这种产品的总量可用下列哪个图象表示( A )
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自测 自评
3.一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系,如 下图所示,图(1)表示某年12个月中每月的平均气温.图(2)表示某家 庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家 庭用电量与其气温间关系的叙述中,正确的是( )
g(x)>f(x)
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思考 应用
1.在实际问题中,建立函数模型时,如果已知这个模型是 一次函数,那么确定这个模型需要一些什么样的条件?

解析:我们知道,一次函数的图象是直线,一般来说,确定直线 目
需要两个独立的条件,即能确定直线的两个条件.
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思考
(2)对数函数模型的一般表达式为:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常
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数,a>0,a≠1).
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跟踪 训练
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关系如下图所示.
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(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.
分析:由题目可获取以下主要信息:(1)通过图象给出函数 关系,(2)函数模型为直线型,(3)比较两种函数的增长差异.答
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本题可先用待定系数法求出解析式,然后再进行函数值大小的
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