解析几何解题方法

解析几何常规题型及解题方法探究
熊致韩
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题：给定双曲线x y 2
2
2
1-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1
2
1221-=，x y 22
22
2
1-=。

两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121
2
0+--
+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y
y y x x -
--=·。

又k y y x x y x =
--=--12121
2
，
代入得2402
2
x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是2402
2
x y x y --+=
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题：设P(x,y)为椭圆x a y b
222
21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e ；
（2）求|||PF PF 13
23
+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得
r r c
122sin sin sin()
αβαβ==+。

得
r r c
122++=+sin sin sin()
αβαβ，
β
αβαsin sin )sin(++==
a c e （2）()()a ex a ex a ae x ++-=+3
3
3
2
2
26。

当x =0时，最小值是23a ；
当a x ±=时，最大值是26323a e a +。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题：抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为114：x p
=--
由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p
t p >--++>14
440，而 由消去得x y t
y p x y +==+⎧⎨⎩2
1()
x t p x t p 2220-++-=()() Θ∆=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222， ΘOA OB k k OA OB ⊥∴⨯=-，1 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()2
2
又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-⋃+∞200，， （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

典型例题：已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p （1）求a 的取值范围； （2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。

或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得：设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A
（x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+>-+221212)(204)(4a
x x p a x x a p a ,又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,
,
2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221p a p p a p p p AB a p p x x x x y y x x AB ≤+<∴>+≤<+=-+=-+-=∴Θ
解得:
.4
2p a p -≤<-
(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ，令其坐标为（x 3,y 3），则由中点坐标公式得：
p a x x x +=+=
2
2
13, .2
)
()(221213p a x a x y y y =-+-=+=
∴|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p 2.又△MNQ 为等腰直角三角形 ∴|QM|=|QN|=P 2
∴S △NAB =
2222
2
||22||||21p p p AB p QN AB =⋅≤⋅=⋅,即△NAB 面积的最大值为P 22。

（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题：已知椭圆C 的方程x y 22
43
1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+
412()y y +()y y 120-=。

又x x x =
+122，y y y =+122
，k y y x x =--=-1
2121
4，代入得y x =3。

又由y x
y x m ==+⎧⎨⎩
34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有()()-+-<m m 22433
1，得-<<21313213
13m 。

B:解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲
线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明： （1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题：例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），
使得PM =
,试建立适当的坐标系，并求动点
P 的轨迹方程．
思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ
２
＝２ＰＮ２
，结合图形由勾股定理转化为：
)1(212
221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程
解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２
＝２ＰＮ２
，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212
221-=-PO PO ，设P （x ,y ）
则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]， 即33)6(2
2=+-y x
综上所述，所求轨迹方程为：33)6(2
2
=+-y x （或03122
2
=+-+x y x ）．
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题：已知中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，
||PQ =10
2
，求此椭圆方程。

解：设椭圆方程为ax by a b 2
2
10+=>>()，直线y x =+1与椭圆相交于P ()x y 11，、Q x y ()22，两点。

由方程组y x ax by =++=⎧⎨⎩
1
122
消去y 后得
()a b x bx b x x b a b x x b a b
+++-=∴+=-+=
-+21212210
21，
由k k OP OQ ⋅=-1，得y y x x 1212=- （1） 又P 、Q 在直线y x =+1上，
y x y x y y x x x x x x 1122121212121213111
=+=+⎧⎨
⎩∴=++=+++，
，()()
()()()
把（1）代入，得2101212x x x x +++=()， 即
21210()b a b b
a b
-+-++=
化简后，得
a b +=2 （4） 由||PQ =
102，得()()x x y y 122122
52
-+-= ∴-=
+-=+--+=()()()()x x x x x x b a b b a b 1221221225445
4
24154
，，
把（2）代入，得48302b b -+=，解得b =
12或b =3
2
代入（4）后，解得a =
32或a =1
2 由a b >>0，得a b ==321
2
，。

∴所求椭圆方程为322
122x y += 说明：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题：求经过两已知圆C x y x y 12
2
420：+-+=和C x y y 22
2
24：+--=0的交点，且圆心在直线l ：
2410x y +-=上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：
x y x y x y y 222242240+-+++--=λ()
即()()()11421402
2
+++-+--=λλλλx y x y ，
其圆心为C （
211
1
+-+λλλ，
） 又C 在直线l 上，∴22141110⋅++⋅-+-=λλλ，解得λ=1
3
，代入所设圆的方程得x y x y 22310+-+-=为所
求。

说明：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

四、充分利用参数方法
参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

例3．已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限．(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围．
解：(1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O
对任意实数a ，所给直线恒过直线3x-y=O 与x-2y+1=0的交点(51，5
3)， ∴直线系恒过第一象限内的定点(
51，5
3)；
(2)当a=2时，直线为x=
51不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=213--a a x-2
1-a ，不过第二象限的充要条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->--0210213a a a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<--02
102
1
3a a a ⇒a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．
五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如
ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·|
|12a k △
·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x y -+=10被椭圆x y 2
2
416+=所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例 F 1、F 2是椭圆
x y 22
259
1+=的两个焦点，AB 是经过F 1的弦，若||AB =8，求值||||22B F A F + ③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y x 24=的焦点，点P 在抛物线y 2
=4x 上移动，若||||PA PF +取得最小值，求点P 的坐标。

六.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．
例4．条件：(1)截y 轴弦长为2.(2)被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1.在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 距离最小时圆的方程.
解：设所求圆的方程为：2
2
2
)()(γ=-+-b y a x ，则由截y 轴的弦长为2得12
2+=a γ
由被x 轴分成两段圆弦，其弧长之比为22
)2(21:3b =⇒γ
，∴1222=-a b
圆心)(b a 、到直线02=-y x 的距离5
2b a d -=
即12)(2444)2(52
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=-=+-+≥-+=-=a b b a b a ab b a b a d
2b a = 1=a 1-=a
当且仅当 即 或 时，取“=” 122
2
=-a b 1=b 1-=b
∴5
5
min =
a ， 此时22==
b γ 所以，所求圆的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 或2)1()1(2
2
=+++y x
七.函数、方程、不等式思想
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、
解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.
例5. 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕点P 、Q 旋转并互相保持平行．
(1)求d 的变化范围．
(2)用d 表示这两条直线的斜率．
(3)当d 取最大值时，求这两条直线的方程． 解 当过P 、Q 的两条直线的斜率为O 时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x 轴垂直时， d=3． 设l 1：y+2=k(x+2)；l 2：y-3=k(x-1)
(1)由平行线间的距离公式得d=
1
|53|2
+-k k
即(d 2
-9)k 2
+30k+d 2
-25=O ……① 由△=900-4(d 2
-9)(d 2
-25)≥O，得O<d≤34
(2)由①得k=9
341522
--±-d d d (d≠3)
(3)当d=34时,k=-5
3 ∴l 1：y+2=-53(x+2)， l 2：y-3=-5
3
(x-1)。