《线性代数 同济第6版》考试题

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河北科技大学理工学院 2014——2015 学年第 2 学期
《线性代数》期末考试试题(A)
班级
题号 得分 一 填空题 (本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1 1. 2 (1, 2) 3
姓名
一 二 三
学号
四 总分
． ．
2. 设 1 (1, 2, 1, 1)T , 2 (2, 3, 4, 5)T ，则 21 2 1 1 1 2 0 0 3. 设 A 0 2 4 , B 1 1 0 , 则 AB = 0 0 3 1 2 2 ．
设 A 为 n 阶可逆阵, 下列各式中正确的是 2．
【
】
【
】
(A) (2 A) 1 2 A1 ； (B) AA 0 ； (C) ( A ) 1 1 A1 ； (D) [( A1 )T ]1 [( AT ) 1 ]T ． A
3．向量组 α1 , α2 , , αn 的秩小于 n (n 2) 的充分必要条件是 (A) α1 , α2 , , αn 全是非零向量； (B) α1 , α2 , , αn 中至少有一个零向量； (C) α1 , α2 , , αn 中至少有两个向量成比例； (D) α1 , α2 , , αn 中至少有一个向量可由其余向量线性表示． 4．设 A 为 n 阶方阵， R ( A) n 1 ， 1 , 2 是齐次线性方程组 Ax 0 的两个不同的解,
则 Ax 0 的通解为( k 为任意常数) 【 】 】 【 】
(A) k1 ；
(B) k 2 ；
(C) k (1 2 ) ；
(D) k (1 2 ) ．
5．设 α1 , α2 是矩阵 A 的对应于特征值 λ 的特征向量，则以下命题正确的是 【 (A) α1 α2 是 λ 对应的特征向量； (C) α1 , α2 一定线性相关； 6．方阵 A(n 阶)可对角化的充分必要条件是 (A) A 为实对称矩阵； (C) A 有 n 个线性无关的特征向量； (B) 2α1 是 λ 对应的特征向量； (D) α1 , α2 一定线性无关．
【
】
(B) A 有 n 个不同的特征值； (D) A 有 n 个不同的特征向量．
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三 计算题 (本题共 46 分. 应写出必要的计算过程)
4 2 3 1.（本小题 12 分）设 A 1 1 0 , 且 AX A 2 X ，求矩阵 X ． 1 2 3
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2.(本小题 10 分) 设有向量组
α1 (1, 1, 2, 4)T , α2 (0, 3, 1, 2)T , α3 (2, 1, 5, 6) T , α4 (1, 1, 2, 0)T ．
求 α1 , α2 , α3 , α4 的秩及一个最大无关组．
1 1 0 3.(本小题 12 分) 设矩阵 A 1 1 0 ,求可逆阵 P 及对角阵 ，使得 P 1 AP ． 0 0 2
7 0 3 1 2 3
．
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二 选择题 (本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
1．下列结论正确的是 (A) 若 B 的第 1 列和第 3 列相同，则 AB 的第 1 列和第 3 列相同； (B) 若 B 的第 1 行和第 3 行相同，则 AB 的第 1 行和第 3 行相同； (C) 若 AB 与 BA 均有意义，则 A 与 B 均是方阵； (D) 若 AB 与 BA 均有意义，则 AB 与 BA 必是同阶方阵．
8. 设向量组 α1 (a, 3, 1)T , α2 (2, b, 3)T , α3 (1, 2, 1)T , α4 (2, 3, 1)T 的秩为 2，则
a=
, b=
． ．
9．设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且 A 的特征值为 2, 2, 3，则 B 1 10. 二次型 f ( x) x T 0 5 6 x 的矩阵为
． ．
6. 设 A 为 m 阶可逆阵，B 为 m n 矩阵， C AB . 若 R( B ) r ， R (C ) r1 ，则 r 与 r1 的大小关系为 ． 时，
7. 设 1 , 2 , 3 是 Ax 0 的基础解系， 当 k1 , k2 , k3 满足条件
1 k2 2 , 2 k3 3 , 3 k11 也是 Ax 0 的基础解系．
4. 设 A , 3 2 , 2 3 ， 若 A B 1 ，A B B , 2 , 3 为 3 阶方阵．
A1 1 1 1 0 5. 设 A1 ， A2 ，A 1 3 0 2 1 ，则 A A2
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4.(本小题 12 分) 求解非齐次线性方程组 x1 5x2 2x3 3x4 11, 5x1 3x2 6x3 x4 1, 2x1 4x2 2x3 x4 6.
四 证明题(本题 6 分)．设 A 为 n 阶方阵，且 A2 2 A 3E 0 ，证明 A 可逆．