反例在高中数学教学中的作用

反例在高中数学教学中的作用
摘要
所谓反例，就是指用来说明某个命题不成立的例子。

在数学中，要证明一个命题，必须严格地论证符合条件的所有可能情况下，结论都成立，缺一不可，而要否定一个命题，只要找出在符合题设条件的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例即可。

因此在解题和理解概念中、在高中数学中有“快”、“准”、“狠”的特点。

在数学研究与数学学习中有着重要的作用。

关键词：反例；判断；巩固；思维能力；构造反例
一、引言
美国数学家盖尔与奥斯特在《分析中的反例》一书中指出，“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发展也朝着两个重要目标——提出证明和构造反例进行”，所以对一个错误认识的反驳不仅是可能的，而且有一个十分有效的标准和方法——反例．在数学推理中，寻求反例与提出证明一样，是一项积极思维活动，二者具有同等重要的作用． 在高中数学教学中，教师分析命题的条件，结论，应用范围等，往往是从正面阐述入手的，可是如果我们能适当选择一些反例，加强辨析，正反对比，将收到更好的效果．适当的反例不仅有利加深学生对数学中诸多概念和定理的理解，而且也有利于优化学生的思维结构，提升学生的理解和解题能力。

二、反例在高中数学教学中的作用
1、 反例可以判断某个命题为假命题
在高中中学数学教学中，要论证一个命题是否为假命题，或检验一道题的正确性，我们往往可以举出一个与原命题矛盾的例子，或与要检验的问题的结论相反的例子，这就是反例．一个命题的反例有多个，我们在举反例时，只举其中一个就可以了． 例1 判断命题“若0,0>>b a ，且1,1≠≠b a ，则log log 2a b b a +≥”是否正确？
分析：我们知道， 1,1≠≠b a ∴log 0a b ≠，log 0b a ≠．
∴log a b （或log b a ）的取值情况可分为两类：（1）log a b 0>；（2）log a b 0<． 显然，在后一类情况下，恒有log log a b b a +0<2<，即log a b 0<时命题不成立．于是容易举出反例：当2a =，12b =时，有212
1log log 21122+=--=-2<． 所以通过举出的反例，我们就能轻易的知道所判断命题是否正确．
例2 命题“若,,a c b c <<则2ab c <”是否正确？
分析：我们知道，在0,0a c b c ≤<≤<的前提下，可以推出2ab c <．但现在我们缺少0,0a b ≥≥这个条件，所以我们的反例可以在0,0a b <<这个范围内构造．
解：所求问题不正确．若我们取2,1a b c ==-=，则有,a c b c <<，但24ab c =>．
一般地说，数学中的反例，它是相对于数学命题而言的，它必须是一个具体的例子，还有它是反驳与纠正错误数学命题的一种方法，所以必须是建立在数学上的已证明的理论与逻辑推理的基础上的，并且具有一定作用的反面例子．所以反例它是论证命题是否正确的一种有效方法．
2、反例可使学生巩固概念、强化概念教学理解
数学概念是用确切、简洁的语言来叙述的．有时一个数学概念有很多种本质属性，学生容易对这些应用较少或较隐含的属性不予重视，或对关键字眼、符号不重视，以致在解题中发生错误．为了正确地理解它此时可通过一些简单明了的反例来加以引导，说明从反面消除容易出现的一些模糊认识，来加深对概念的理解。

在教学中利用反例，从心理学的观点来看，这是一种比较.“有比较才有鉴别”，通过比较，学生才能容易把握住所研究对象的本质特征.典型的反例会给学生以深刻的印象，这对学生理解数学概念，掌握数学方法，培养学生的学习兴趣都起很大的作用．例如：
椭圆定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

其实概念中，学生很容易粗略的理解“到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，其实还忽视了“平面内”和“常数（大于12F F ）”，学生可能不太理解，于是在讲解时，为了让学生巩固概念，在这就要要举出反例：1、假设不在平面内，在空间上的话，就不是不平面图形，就不是椭圆了。

2、假设到两个定点的距离的和的常数恰
好等于12F F 呢？小于呢？让学生讨论很容易知道常数等于12F F 的点的轨迹是线段，小于12F F 时，是不存在的。

这样的话，有利于学生对概念的掌握和强化。

在讲解抛物线定义时，用同样的方法，举出反例可以让学生更容易理解“l 不经过点F ”从而对抛物线概念的更好把握。

这样在概念中通过应用反例，我们就可以加深学生对定义的理解．
又如在函数周期的概念中，我们知道，如果T 是)(x f 的周期，则kT 也是)(x f 的周期（k 为任意整数），那么)(x f 的周期就有无穷多个，我们通常所说的周期就是指最小正周期．那么周期函数是否一定有最小正周期呢？
回答是不一定．例如常数函数)(x f =C ，它是以任意数为周期，是没有最小正周期的．所以说反例在概念教学中能起到巩固和强化概念的作用．
3、反例有助于学生对定理、公式或法则使用的条件的理解和掌握。

有些学生在学习时，往往对定理的内容掌握不全面，丢三拉四，对一些关键字眼不留意，不在乎，在考试解题格式中不体现，造成不不要的丢分，主要是没有对定理、公式、法则理解到位，理解透彻。

这时教师可以通过举反例来强调对定理的条件及结论的全面理解，这就有利于学生准确地理解和掌握数学基础知识，并运用到实际中．如：
线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．学生掌握定理不到位，忽视了条件中的关键字眼“相交”，为了让学生充分掌握次定理，在解答时格式中体现它，所以要举反例，让学生体会，不相交是否一定成立，如图
1111AB B C AB BC ⊥⊥且,但很显然1AB 不垂直平面11BCC B ，因为11BC C B 与不相交，这样让学生更能体会到“相交”的重要性，从而在解答或证明中能体现，体现思维的严密。

例3 已知332a b += ，求证：2a b +≤．
分析：有学生这样证明：由3113a a ++≥，可知3113b b ++≥，两式相加，可得
3343()a b a b ++≥+，再由332a b +=，得3311(4)6233
a b a b +≤++=⨯= 其实这样证明是有误的，其原因是不等式应用有误，该证法忽视了基本不等式3333a b c abc ++≥适用的前提条件是,,a b c R +∈．
正确的证法如下：
证明：欲证原不等式成立，只须证2a b ≤-，可证33(2)a b ≤-
即证3238126a b b b ≤-+-，只须证3328126a b b b +≤-+，故可证261260b b -+≥，即 26(12)0b b -+≥ 又因为2(1)0b -≥ 所以原不等式成立． 故得证．
4、反例让学生在误解中知道错在何处
引入反例，可以增强学生发现问题，纠正错误的意识，提高学生否定错误命题的能力．数学中有些问题，若从正面角度来讲，有时候学生会感到模糊，难理解，甚至会产生错误的判断．若运用反例就可以检验答案是否正确，如果发现有误，也可以通过反例来引导学生寻求错误的原因并纠正错误．如我们都知道的分配律：()m a b ma mb +=+，而有的学生就会把一些差不多的公式都套用这个分配律，就引起了很多错误的类比：222()a b a b +=+ ，333()a b a b +=+；sin(60)sin sin 60αα+=+，
222cos ()cos cos A B A B +=+等等．
例4 2(3)01x k x k k +-+=例题：已知方程有两个大于的根，求满足下列条件的的范围 很多同学做出的解答是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆120a b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≥--⇒12304)3(2k k k 显然是错的，已产生了增根，但学生不能理解为什么错，所以在这举出反例，如图也是满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆120a b 条件，但解不一定都大
于1，所以这个条件是错的，不是题目的充要条件。

如图：
这样举反例会让学生更能体会到自己解法的错误。

正确的解法如下：
()，则设k x k x x f +-+=)3( 2
⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)1(120f a b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+>--≥--⇒03112304)3(2k k k k k
例5 如下图4-1所示，有一长方体1111ABCD A B C D -，其长5AB cm =，宽4AD cm =，高13AA cm =，求由顶点A 沿着表面到对角顶点1C 的最短路线的长．
D C D C C 1
A B 4
C 5
D 4 A 3 B 1
3 5 B
D 1 C 1 C 1 D 1 A 1 B 1
A 1
B 1 4
D 1 C 1
图4-1 图4-2
分析：这是一题关于立体几何的应用计算题．开始时，有很多学生误认为长、宽、高之和154312AB BC CC ++=++=为所求路线之长．但其实自A 沿棱AB 和右侧面对角线1
BC
至1C 所得路线长为151012AB BC +==<，类似的也有
11139.812AA AC +=≈<．所以由上面的分析，我们就可以知道其实最短路线并不是长、宽、高之和，因为还有比它们之和更短的路线，这样学生就能受我们举出的反例的启示，把思路引向了展开侧面这个问题上思考了．我们再由图4-2可知，A 沿着表面至1C 的
8.6()cm =≈．
这就得到了我们最终要求解的答案．
5、适当的反例让学生提高解题效率
在教学中，我们要善于引导学生去寻找反例，构造反例．当然，反例的构造并不是随便就能找到的，它首先要求人们对命题的条件、结论熟悉，能了解其中的本质，这样才能构造出正确的反例来．有些反例比较容易构造，但有些则需认真探求命题本身的性质或进行大量的计算．构造出一个对所求问题有用的反例，是解题的关键．
例6 当0a ≠时，判断函数2()1f x x x a =+-+的奇偶性．
分析：由于函数21x +为偶函数，当0a ≠时，函数x a -为非奇非偶函数，由此我们可以推断()f x 应该为非奇非偶函数，先我们举出反例说明：
当x 取特殊值a 时，22()1,()21f a a f a a a =+-=++
0a ≠ ∴()(),()()f a f a f a f a -≠--≠- 故函数()f x 为非奇非偶函数．
上面的例题就是应用了反例来解答的，它是利用特殊值来判断的．我们还可以利用特殊图形、特殊函数或特殊数列等各种特殊的反例来解答；或从其涉及到的定义上入手获得反例；也可以根据所给命题的题型特点，考虑变化中的特殊情况来获得反例等． 例7 设ABC ∆的三边分别为,,a b c ，且111a b c a b c
+=+=+，那么ABC ∆为等边三角形． 解：这个结论是错误的．因为我们若取13,3,3a b c ===
，则,,a b c 满足命题中所给的条件，但它却不是等边三角形．
凡从正面肯定不易而从方面否定较易的，特别是在高考立体几何的选择题中，我们通过构造反例来解决．例如
例8 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直
线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ D ）
A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
例9 （2014年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）若空间中四条两两不同
的直线
1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是（D ） A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定
（反例省略）
反例的构造方法是多种多样的，构造反例可以考虑各种思维策略，根据命题组成的特殊性和知识特点，可以采取不同的，行之有效的反例来解决问题．
6、在高中数学教学中培养学生创造思维能力和探究能力时渗透反例的教学，能培养学生的思维的严密性，使得学生能够较牢固地掌握知识
反例是一种很好的教学方法，如果教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构造反例；另一方面也能培养学生的逻辑思维能力．通过反例的教学，让学生能够积极思索、探讨，使得学生思维的灵活性、敏捷性和创造性都能得到进一步发展．
例如：在研究到函数的单调性与导数
，课本说到：设函数y ＝f(x)在某区间(a ，b)内可导．
若x ∈(a ，b)，f ′(x)＞0，则f(x)在区间(a ，b)内为增函数
若x ∈(a ，b)，f ′(x)＜0，则f(x)在区间(a ，b)内为减函数。

那我们引导学生，函数y ＝f(x)在某区间(a ，b)内可导，x ∈(a ，b)，f ′(x)＞0是f(x)在区间(a ，b)内为增函数充要条件吗？即函数y ＝f(x)在某区间(a ，b)内可导，f(x)在区间(a ，b)内为增函数，能推出x ∈(a ，b)，f ′(x)＞0吗？引发学生思考。

大部分学生会认为是充要条件，这是可以举出反例
3()f x x =在R 上是增函数，但2()2f x x '=在x R ∈上，2()20f x x '=≥，所以显然y ＝f(x)在某区间(a ，b)内可导，x ∈(a ，b)，f ′(x)＞0不是f(x)在区间(a ，b)内为增函数充要条件。

是充分不必要条件，防止我们在解题中错用成充要条件。

三、小结
由本文我们可以看出，构造反例和提出证明同样具有重要的作用．它因其具有直观、
明显、强的说服力等特点，决定了它在数学教学中起着不可代替的作用，我们必须适时、恰当的运用反例，注重反例教学在培养高中学生思维的严密性、灵活性及思维的发散性、深刻性有很大的教学教学效果。

适时、适当的运用反例才能收到好的教学效果，也能增强学生的思维逻辑，使学生加深理解，因此，我们在中学数学教学中要充分发挥反例的作用．
参考文献
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