反例在高中数学教学中的作用

反例在高中数学教学中的作用

摘要

所谓反例，就是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中，要证明一个命题，必须严格地论证符合条件的所有可能情况下，结论都成立，缺一不可，而要否定一个命题，只要找出在符合题设条件的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例即可。因此在解题和理解概念中、在高中数学中有“快”、“准”、“狠”的特点。在数学研究与数学学习中有着重要的作用。

关键词：反例；判断；巩固；思维能力；构造反例

一、引言

美国数学家盖尔与奥斯特在《分析中的反例》一书中指出，“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发展也朝着两个重要目标——提出证明和构造反例进行”，所以对一个错误认识的反驳不仅是可能的，而且有一个十分有效的标准和方法——反例．在数学推理中，寻求反例与提出证明一样，是一项积极思维活动，二者具有同等重要的作用． 在高中数学教学中，教师分析命题的条件，结论，应用范围等，往往是从正面阐述入手的，可是如果我们能适当选择一些反例，加强辨析，正反对比，将收到更好的效果．适当的反例不仅有利加深学生对数学中诸多概念和定理的理解，而且也有利于优化学生的思维结构，提升学生的理解和解题能力。

二、反例在高中数学教学中的作用

1、 反例可以判断某个命题为假命题

在高中中学数学教学中，要论证一个命题是否为假命题，或检验一道题的正确性，我们往往可以举出一个与原命题矛盾的例子，或与要检验的问题的结论相反的例子，这就是反例．一个命题的反例有多个，我们在举反例时，只举其中一个就可以了． 例1 判断命题“若0,0>>b a ，且1,1≠≠b a ，则log log 2a b b a +≥”是否正确？

分析：我们知道， 1,1≠≠b a ∴log 0a b ≠，log 0b a ≠．

∴log a b （或log b a ）的取值情况可分为两类：（1）log a b 0>；（2）log a b 0<． 显然，在后一类情况下，恒有log log a b b a +0<2<，即log a b 0<时命题不成立．于是容易举出反例：当2a =，12b =时，有212

1log log 21122+=--=-2<． 所以通过举出的反例，我们就能轻易的知道所判断命题是否正确．

例2 命题“若,,a c b c <<则2ab c <”是否正确？

分析：我们知道，在0,0a c b c ≤<≤<的前提下，可以推出2ab c <．但现在我们缺少0,0a b ≥≥这个条件，所以我们的反例可以在0,0a b <<这个范围内构造．

解：所求问题不正确．若我们取2,1a b c ==-=，则有,a c b c <<，但24ab c =>．

一般地说，数学中的反例，它是相对于数学命题而言的，它必须是一个具体的例子，还有它是反驳与纠正错误数学命题的一种方法，所以必须是建立在数学上的已证明的理论与逻辑推理的基础上的，并且具有一定作用的反面例子．所以反例它是论证命题是否正确的一种有效方法．

2、反例可使学生巩固概念、强化概念教学理解

数学概念是用确切、简洁的语言来叙述的．有时一个数学概念有很多种本质属性，学生容易对这些应用较少或较隐含的属性不予重视，或对关键字眼、符号不重视，以致在解题中发生错误．为了正确地理解它此时可通过一些简单明了的反例来加以引导，说明从反面消除容易出现的一些模糊认识，来加深对概念的理解。在教学中利用反例，从心理学的观点来看，这是一种比较.“有比较才有鉴别”，通过比较，学生才能容易把握住所研究对象的本质特征.典型的反例会给学生以深刻的印象，这对学生理解数学概念，掌握数学方法，培养学生的学习兴趣都起很大的作用．例如：

椭圆定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。其实概念中，学生很容易粗略的理解“到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，其实还忽视了“平面内”和“常数（大于12F F ）”，学生可能不太理解，于是在讲解时，为了让学生巩固概念，在这就要要举出反例：1、假设不在平面内，在空间上的话，就不是不平面图形，就不是椭圆了。2、假设到两个定点的距离的和的常数恰

好等于12F F 呢？小于呢？让学生讨论很容易知道常数等于12F F 的点的轨迹是线段，小于12F F 时，是不存在的。这样的话，有利于学生对概念的掌握和强化。在讲解抛物线定义时，用同样的方法，举出反例可以让学生更容易理解“l 不经过点F ”从而对抛物线概念的更好把握。

这样在概念中通过应用反例，我们就可以加深学生对定义的理解．

又如在函数周期的概念中，我们知道，如果T 是)(x f 的周期，则kT 也是)(x f 的周期（k 为任意整数），那么)(x f 的周期就有无穷多个，我们通常所说的周期就是指最小正周期．那么周期函数是否一定有最小正周期呢？

回答是不一定．例如常数函数)(x f =C ，它是以任意数为周期，是没有最小正周期的．所以说反例在概念教学中能起到巩固和强化概念的作用．

3、反例有助于学生对定理、公式或法则使用的条件的理解和掌握。 有些学生在学习时，往往对定理的内容掌握不全面，丢三拉四，对一些关键字眼不留意，不在乎，在考试解题格式中不体现，造成不不要的丢分，主要是没有对定理、公式、法则理解到位，理解透彻。这时教师可以通过举反例来强调对定理的条件及结论的全面理解，这就有利于学生准确地理解和掌握数学基础知识，并运用到实际中．如：

线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．学生掌握定理不到位，忽视了条件中的关键字眼“相交”，为了让学生充分掌握次定理，在解答时格式中体现它，所以要举反例，让学生体会，不相交是否一定成立，如图

1111AB B C AB BC ⊥⊥且,但很显然1AB 不垂直平面11BCC B ，因为11BC C B 与不相交，这样让学生更能体会到“相交”的重要性，从而在解答或证明中能体现，体现思维的严密。

例3 已知332a b += ，求证：2a b +≤．