哈工大能源学院材料力学讲课课件第9章.ppt

第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 2） 虚功原理在杆件中的应用
(dx) FN dx EA
d Mz dx
EI
d T dx
GI p
d k Fs dx
GA
其中，k 是剪切形状系数，是为考虑横截面上切应力非均 匀分布而引入的，它是与横截面形状有关的常数。
矩形截面 k 6 5
实心圆截面 k 32 27
以 q 、q 分别表示杆件原平衡外力系的体力分布集
V
S
度矢量和面力分布集度矢量。
表示与上述虚变形相对应的虚位移矢量。
则原平衡外力系所做的虚功We为
W eqHale Waihona Puke BaidudV qV dV
其中，∑ 为杆件的表面积，V 为杆件的体积。
第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 2） 虚功原理在杆件中的应用
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功
1） 虚功
虚变形——满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形。
虚变形 的特点
满足变形连续条件 满足位移约束条件 未必真实发生的变形
物体发生变形的原因是多种
多样的，例如温度、湿度变化等
原因都会引起变形。由于没有限
定虚变形的原因和原因的具体方
式，一般来说虚变形是多种多样
dWi Fs d
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 2） 杆件内力做的虚功 内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本 节只考虑杆件的 dx 微段。 • 扭矩做的虚功
下图中扭转角 d 与扭矩 T 无关， 是虚变形。 是d 虚位移（角位移）。
于是，该微段扭矩 T 所做的虚功为
的。但在某一个原因下的真实变
形却是确定的，真实变形是虚变
形中的某一个。
简支梁如下的三种变形，均 是它的允许变形，即虚变形
如果该变形是由 力F引起的，那 么对于力 F 来说， 这个变形就是真 实变形。
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功
1） 虚功
虚变形——满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形。
第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 1） 虚功原理 物体受外力作用处于平衡状态，平衡外力系在该物体的虚 位移上所做的功，等于该平衡力系引起的内力在虚变形上所做 的功。简单地说就是外力的虚功等于内力的虚功。
用We表示平衡外力系的虚功，W i 表示内力的虚功，虚功原
理的基本方程为
We Wi
dWi Mzd
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 2） 杆件内力做的虚功
• 轴力做的虚功 • 剪力做的虚功 • 扭矩做的虚功
dWi FNΔ(dx)
dWi Fs d dWi Td
• 弯矩做的虚功
dWi Mzd
• 组合内力做的虚功
于是，该微段在组合内力下所做的虚功为
d W i F N Δ (d x ) F sd T d M zd
W i0 l F E N F N A kG sF s A G TT p IM E zM zI dx
W eqSdV qV dV
根据虚功原理 We Wi ，则
qS dVqV dV
l 0
FENFAN kGFsFAs G TTpI
虚位移——虚变形时物体各点的位移。
虚 功——力在虚位移上做的功。 例如
左图中力偶 M 在右图中由
力 F 所引起的转角 A 上
所做的功 MA 就是虚 功。同理，右图中力 F在
左图中由力偶 M 所引起的
位移 V B 上所做的功 FVB 也是虚功。
图中力 F 在其所产生的位移 VB
上所做的功
1 2
F V B
dWi Td
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 2） 杆件内力做的虚功 内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本 节只考虑杆件的 dx 微段。 • 弯矩做的虚功
右图中转角 d 与弯矩 M z 无关，是 虚变形，d 是虚位移（角位移）。 于是，该微段弯矩 M z 所做的虚功为
dWi FNΔ(dx)
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 2） 杆件内力做的虚功 内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本 节只考虑杆件的 dx 微段。 • 剪力做的虚功
右图中 d 与剪力 F s 无关，是 虚变形， d 是虚位移。
于是，该微段剪力 F s 所做的虚 功为
第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 2） 虚功原理在杆件中的应用
(dx) FN dx d k Fs dx
EA
GA
d T dx d Mz dx
GI p
EI
上述的允许变形与原平衡外力系无关，对于原平衡外力系来
说，他们均是虚变形。这样，在弹性小变形条件下，杆件组合内
力（原平衡外力系引起的）在这些虚变形上所作的内力虚功可写
，为实功。
第9章 能量原理
9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 2） 杆件内力做的虚功 内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本 节只考虑杆件的 dx 微段。 • 轴力做的虚功
图中 Δ(dx ) 与轴力 FN 无关，是 虚变形， Δ(dx ) 是虚位移。 于是，该微段轴力 FN 所做的虚 功为
成
W i0 l F E N F N A kG sF s A G TT p IM E zM zI dx
其中，FN、 Fs、 T、 Mz 是原平衡外力系所引起的内力。
第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 2） 虚功原理在杆件中的应用
W i0 l F E N F N A kG sF s A G TT p IM E zM zI dx
2） 虚功原理在杆件中的应用
应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述
的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外
力引起的内力有关 ，则微段的允许变形为
第9章 能量原理
9-2 虚功原理及其在杆件中的应用 2） 虚功原理在杆件中的应用 应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述
的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外
力引起的内力有关 ，则微段的允许变形为
Δ(dx) FN dx EA
d T dx
GI p
d Mz dx
EI
d k Fs dx
GA
的原其平中衡，外力FN 系、 ）F相s、 对T应、 的M轴z 力分、别剪是力和、这扭某矩个和外弯力矩（。不是上述