直线与方程 PPT

第八单元 平面解析几何
第一节 直线与方程
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴______与 直线l______方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴
平行或重合时，规定它的倾斜角为_________． ②倾斜角的范围为________． (2)直线的斜率 ①定义
当x=0时，y=4+3k，
当y=0时，x=-4 -3，
k
所以3k+4- 4 -3=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=1 - ，
k
3
所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-41 =- (x+3)，
3
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
方法三：设直线方程为y=kx+b，
因为直线过点A(-3,4)，
(1)过点P(a，b)垂直于x轴的直线方程为________；过P(a，b)垂直 于y轴的直线方程为________．
(2)已知直线的纵截距为b，可设其方程为________． (3)已知直线的横截距为a，可设其方程为________． (4)过原点且斜率是k的直线方程为________．
答案：1. (1)①正方向 向上 0° ②[0°，180°)
4. 直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点________．
5. (教材改编题)过点A(1,1)和B(-1,5)的直线方程为_________．
答案：1. A 解析：k=tan a= 1 3 ＞ 20，所以倾斜角为锐角，
5 4 9
故选A.
2. D 解析：数形结合可知- a >0，- >c 0，即ab＜0，bc＜0.
解：方法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0)，
则有A
2
1 k
与, 0 B
0,，12k
所以S(k)=
1 (1-2k)
2
2
= 1
k
1 2
4≥4k(4+1k4)=4，12 当且仅当-4k=
，即k=-1 时，等号成1 立．
k
2
故直线l的方程为y-1=-1 (x-2)，即x+2y-4=0.
所以3k-b+4=0，①
又直线在两坐标轴上的截距之和为12，
所以b+
b k
= 12.②
由①②解得k=4，b=16或k=-1
3
，b=3，
所以直线方程为y=4x+16或y=1 - x+3，
3
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
变式2-1
求过点P(3,4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线
一条直线的倾斜角a的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小 写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为 k=________.
2. 直线方程的五种形式
3. 几种特殊直线的方程
综上，m的取值范围是
,
3.
4
或m3 ＜0.
4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
变式1-1
直线xcos q+y-1=0(q∈R)的倾斜角的范围是
A .0B . 4,3 4 C . 0, 4 D . 4 3,
()
答案：D
解析： 设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q.
(2)①正切值 tan a ② y 2 y 1
x2 x1
2. y-y0=k(x-x0)
y=kx+b y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
Ax+By+C=0(A2+B2 0)
3. (1)x=a y=b (2)y=kx+b (3)x=my+a (4)y=kx
基础达标
1. (教材改编题)经过A(-4，-3)，B(5，-1)两点的直线的倾斜角是
∵q∈R，-1≤-cos q≤1，∴-1≤tan a≤1，
∴a∈
0,
4
34,
题型二 求直线的方程
【例2】 求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于
12的直线方程．
解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设
直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为12-a，直线方程
为 x + y=1，因为直线过点A(-3,4)，
()
A. 锐角
B. 钝角
C. 直角
D. 零度角
2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有
()
A. ab>0，bc>0
B. ab>0，bc<0
C. ab<0，bc>0
D. ab<0，bc<0
3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有
()
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4
2
变式3-1
过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则 |PA|×|PB|的值最小时直线l的方程是________．
答案：x+y-3=0
解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0)，则A
2
1k，, 0 B (0,1-
2k)，|PA|×|PB|=
4
=
4k
2
1≥k124，
2
方法二：设过M(2,1)的直线为 x + =y 1(a＞0，b＞0)，则
a
b
+ 2 =1. 1
ab
由基本不等式得2 2 1≤ +2 =11 ，即ab≥8，
ab
S△AOB=ab≥4，当且仅当 2
a
=
a
b
1=
b
，1 即a=4，b=2时，等 2
号成立．
故直线方程为 x + y =1，即x+2y-4=0.
a 12 a
所以 3+ =4 1，
a
12 a
整理得a2-5a-36=0，解得a=9或a=-4，
所以直线方程为
x 9
+
y =1或
3
+x
4
=1y ，
16
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线
的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k¹0)．
8
4
k
2
1 k2
方程．
解：当直线过原点时，方程为y=4 x；
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当直线不经过原点时，设方程为 x + =y 1，
a
2a
把P(3,4)代入得a=5, 方程为2x+y-10=0，
综上，所求方程为y= 4 x或2x+y-10=0.
3
题型三 与直线方程有关的最值问题
【例3】 直线l过点M(2,1)，且分别与x、y轴正半轴交于A、B两点， O为原点．求当△AOB面积最小时，直线l的方程．
b
b
3. B 解析：截距为0时有一条，截距不为0时有一条．
4. (3,1) 解析：将kx-y+1=3k变为直线的点斜式方程为y-1=k(x-
3)，知直线过定点(3,1)．
5. 2x+y-3=0 解析： 过A、B两点的斜率为k= 5 1 =-2，由点斜
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式写出直线方程化简得2x+y-3=0.
经典例题
题型一 直线的倾斜角和斜率
【例1】 已知经过A(m,2)，B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为a， 且45°＜a＜135°，试求实数m的取值范围
解：当m=0时，a=90°，满足题意；
当m 0时，∵45°＜a＜135°，
∴k＞1或k＜-1，
∴ 2 m ＞3 1或 ＜2 m-1 3，解得0＜m＜
2m
2m