第二章预备知识

t
例：试求一个矩形脉冲的频谱密度。
ga(t) 1
Ga(f)
0
t
-1/
1/
-2/
0
2/
f
(a) ga(t)
单位门函数
(b) Ga(f)
设
ga
(t
)
1 0
t /2 t /2
－ 单位门函数
它的傅里叶变换为
Ga ( f )
/ 2 e j2ft dt
/ 2
1
j2f
(e jf e jf ) sin(f ) sin c(f ) f
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一、高斯白噪声和带限白噪声
1.白噪声n (t)
定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，
即
Pn
(
f
)
n0 2
( f ) － 双边功率谱密度
或
Pn ( f ) n0 (0 f ) － 单边功率谱密度
式中 n0 － 正常数 白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶
反变换，得到相关函数：
性也随之确定。
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一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量 c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为 零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是 互不相关的或统计独立的。
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三. 正弦波加窄带高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声的表示式
r(t) Acos(ct ) n(t)
第四节 通信系统的噪声
噪声：存在于通信系统中，干扰信号传输和处理的那一 类不需要的电波形，它在系统中无处不有，也称之为随
机干扰信号。
一、噪声的分类： 1、根据它们的来源：①无线电噪声②工业噪声③天电噪 声④内部噪声 2、从噪声的性质分：①单频噪声②脉冲干扰③起伏噪声 3、从噪声的统计特性分：①平稳噪声②非平稳噪声 4、对信号的作用方式：①加性噪声②乘性噪声
第二章
预备知识
主要内容：
重点：
信号的频域性质。 信号的能量谱与功率谱。
波形的相关性。
自相关与互相关函数。
随机过程的数字特性。 噪声对系统的影响。
通信系统的噪声。
第一节 确知信号的分析
一、信号的分类
数字信号与模拟信号 确知信号与随机信号 周期信号与非周期信号 功率信号与能量信号
二、系统分类
式中
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct
－ 窄带高斯噪声
－ 正弦波的随机相位，均匀分布在0 ～2间
A和c － 确知振幅和角频率
于是有 r(t) [Acos nc (t)]cosct [Asin ns (t)]sinct
zc (t) cosct zS (t) sinct z(t) cos[ct (t)]
例：试求下图所示周期性方波的频谱。
s(t)
V
-T
0
t
T
V , s(t) 0, s(t) s(t T ),
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
t
Cn
例：试求图示周期性方波的频谱。
s(t)
V
-T
0
T
t
V , s(t) 0, s(t) s(t T ),
0t tT
R21() = R12(-)
若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数
的定义可以写为
R12
(
)
1 T0
T0 / 2 T0 / 2
s1
(t)s2
(t
)dt,
R12()和其谱密度之间具有傅里叶变换对关系：
R12 ( )
S12
(
f
)e
j
2f
df
S12 ( f )
R12
(
)e
j
2f
d
R12 ( )
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二、平稳随机过程
1. 平稳随机过程的定义 2. 各态历经性 3.平稳过程的自相关函数 4.平稳过程的功率谱密度
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[例] 设一个随机相位的正弦波为
(t) Acos(ct )
其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。
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R( ) n0 ( )
2
19
白噪声和其自相关函数的曲线：
20
白噪声的功率 由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即
或
R(0) n 0 df 2
R(0) n0 (0)
2
21
2.高斯白噪声
定义：若白噪声n(t)的概率密度函数服从高斯分布 （正态分布）的一类噪声，数学表达式为
E
G( f )df
1
G()d
2
P
P( f )df
1
P()d
2
已知 f (t) 的波形如下，1.如果 f (t) 为电压
加在1欧姆的电阻上，求消耗的能量多大？
2. 求能量谱密度G()
f (t) 1
0
t
第二节 确知信号的时域性质
一. 信号的自相关函数
定义：
R( ) lim 1
C e j 2nf0 12
n
R12 ( )
C12 ( f ) ( f
nf0 )e j 2nf0 df
第三节 随机过程的数字特性
什么是随机过程？
(t)
1 (t ) 2 (t) n (t)
0
a (t )
t
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一、 随机过程的数字特征 均值（数学期望） 方差 自相关函数 互相关函数 协方差函数
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
可以展开为
式中
(t) c (t) cosct s (t) sin ct
c (t) a (t) cos (t) － (t)的同相分量 s (t) a (t) sin (t) － (t)的正交分量
可以看出：
(t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。 若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特
pn (x)
a － 均值
2 － 方差
1
2
exp
x a2
2 2
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
Байду номын сангаас
x
22
二、窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，
即窄带高斯白噪声的功率谱局限在 fc 附近很窄的
频率范围内 平均功率 N n0 B
23
24
窄带随机过程（噪声）表示式展开
功率信号的自相关函数也是偶函数。
R( ) R( )
R()和谱密度P(f)（ |S(f)|2 ）之间是傅里叶变换关系：
R( ) P( f )e j2f df
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
P( f ) R( )e j2f d
S( f ) 2 R( )e j2f d
线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统
三、确知信号的频域性质
1. 周期信号的表达式
基本表示式 s(t) A0 ( An cos n0t Bn sin n0t) n1
余弦表示式
s(t) V0 Vn cos(n0t n ) n 1
指数表示式
s(t)
Cne jn0t
n
式中 zc (t) Acos nc (t)
zs (t) Asin ns (t)
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正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式
包络：
z(t)
zc2
(t)
z
2 s
(t)
,z 0
相位： (t)
tg 1
zs (t)
,
(0 2 )
zc (t)
28
包络概率密度函数 f (z)曲线
29
正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性
F()
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例：频带有限的白噪声 n(t) ，具有功率谱
，pn1(.试f )求 1噪0 声6V的2 /均Hz方，根其值频？率2范.求围R从n (－)，1n0(0t至) 和10n0(Kt Hz)
在什么间距上不相关？
瑞利分布（Rayleigh Distribution）
一个均值为0，方差为σ^2的平稳窄带高斯过程，其 包络的一维分布是瑞利分布.
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2
R( ) s(t)s(t )dt
性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率（能量）
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
R(0) s 2 (t)dt E
R(0) R( )
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同 的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布
瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络 或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类 型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布
。
莱斯（Rice）分布
正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数分布称为莱 斯（Rice）密度函数，也称广义瑞利分布。
自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关.
三.信号的互相关函数
定义：
R12 ( ) s1(t)s2 (t )dt,
R12
(
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2 (t )dt,
性质：
R12()和时间t 无关，只和时间差 有关。
R12()和两个信号相乘的前后次序有关：