2019-2020学年江苏省徐州市新沂市九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省徐州市新沂市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知5OA cm =，以O 为圆心，r 为半径作O ．若点A 在O 内，则r 的值可以
是( )
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
2．（3分）已知ABC ∆和△111A B C 相似，相似比为1:2，则ABC ∆与△111A B C 的周长的比为(
)
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:4
D ．4:1
3．（3分）方程2230x x -+=的根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根
B ．只有一个实数根
C ．没有实数根
D ．有两个不相等的实数根
4．（3分）如图，A ，B ，C ，D 是O 上的点，则图中与A ∠相等的角是( )
A ．
B ∠ B ．
C ∠ C ．DEB ∠
D ．D ∠
5．（3分）把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线为( )
A ．2(2)3y x =---
B ．2(2)3y x =--+
C ．2(2)3y x =-+-
D ．2(2)3y x =-++
6．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，2AB AD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是( )
A ．12AE BC =
B ．12AE A
C = C ．12DE BC =
D ．2EC AC
= 7．（3分）若数据2，x ，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是( )
A ．3和2
B ．2和3
C ．2和2
D ．2和4
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,3)，点B 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(2,3)-．经画图操作可知ABC ∆的外心坐标可能是( )
A ．(2,1)--
B ．(1,0)
C ．(0,0)
D ．(2,0)
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）
9．（4分）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲
的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知 的成绩更稳定．
10．（4分）已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现
从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ．
11．（4分）已知线段4a =，9b =，线段x 是a ，b 的比例中项，则x 等于 ．
12．（4分）一元二次方程23x x =的解是： ．
13．（4分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树
的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米．
14．（4分）圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．
15．（4分）二次函数2y x bx c =++的图象上有两点(3,4)和(5,4)-，则此抛物线的对称轴是
直线x = ．
16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边
心距OM 的长为 ．
17．（4分）如图，已知AB 是O 的直径，弦CD 与AB 相交，若24BCD ∠=︒，则ABD ∠的度数为 度．
18．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x >时，y
随x 值的增大而增大；
⑤当0y >时，13x -<<．
其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．
三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）
19．（610318()(3)2
π-+- 20．（6分）解方程：2560x x --=．
21．（6分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，3-，5-，7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张．请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字的乘积为正数的概率．
22．（6分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，CAD ABC ∠=∠．判断
直线AD 与O 的位置关系，并说明理由．
四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．)
（1）填空：样本容量为，a=；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
24．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小
路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为
2
112m，求小路的宽．
25．（8分）如图，在矩形ABCD中，6
BC=，点E是BC边上的一个动点（不与
AB=，8
点B．C重合），连结AE，并作EF AE
=．
⊥，交CD边于点F，连结AF．设BE x
=，CF y
（1）求证：ABE ECF
∽；
∆∆
（2）当x为何值时，y的值为2．
五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）
26．（8分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30︒，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为︒、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结60(A
果精确到0.1)
≈
m．（参考数据：2 1.414
≈，3 1.732)
27．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：=-+．设这种产品每天的销售利润为w元．
y x
280
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（本大题10分）
28．（10分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为(1,1)
A，且与直线2
=-交于B，C两
y x
点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求ABC
∆的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN x
⊥轴与抛物线交于点M，则是否存在以
∆相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说O，M，N为顶点的三角形与ABC
明理由．
2019-2020学年江苏省徐州市新沂市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）已知5OA cm =，以O 为圆心，r 为半径作O ．若点A 在O 内，则r 的值可以
是( )
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
【考点】8M ：点与圆的位置关系
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法得到5r >，然后对各选项进行判断．
【解答】解：5OA cm =，点A 在O 内，
OA r ∴<，即5r >．
故选：D ．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，
反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
2．（3分）已知ABC ∆和△111A B C 相似，相似比为1:2，则ABC ∆与△111A B C 的周长的比为(
)
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:4
D ．4:1
【考点】7S ：相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．
【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，且相似比为1:2，
ABC ∴∆与△A B C '''的周长比为1:2，
故选：A ．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（3分）方程2230x x -+=的根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根
B ．只有一个实数根
C ．没有实数根
D ．有两个不相等的实数根
【考点】AA ：根的判别式
【分析】把1a =，2b =-，3c =代入△24b ac =-进行计算，然后根据计算结果判断方程根
的情况．
【解答】解：1a =，2b =-，3c =，
∴△224(2)41380b ac =-=--⨯⨯=-<，
所以方程没有实数根．
故选：C ．
【点评】本题考查了一元二次方程20(0ax bx c a ++=≠，a ，b ，c 为常数）的根的判别式
△24b ac =-．当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程没有实数根．
4．（3分）如图，A ，B ，C ，D 是O 上的点，则图中与A ∠相等的角是( )
A ．
B ∠ B ．
C ∠ C ．DEB ∠
D ．D ∠
【考点】5M ：圆周角定理
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【解答】解：A ∠与D ∠都是BC 所对的圆周角，
D A ∴∠=∠．
故选：D ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（3分）把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线为( )
A ．2(2)3y x =---
B ．2(2)3y x =--+
C ．2(2)3y x =-+-
D ．2(2)3y x =-++
【考点】6H ：二次函数图象与几何变换
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为2(2)3y x =---，
故选：A ．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，2AB AD
=，那么下列条件中能判断//DE BC 的是( )
A ．12AE BC =
B ．12AE A
C = C ．12DE BC =
D ．2EC AC
= 【考点】4S ：平行线分线段成比例
【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行判断． 【解答】解：当
AB AC AD AE
=时，//BC DE ， 即2AC AE =． 故选：B ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
7．（3分）若数据2，x ，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是( )
A ．3和2
B ．2和3
C ．2和2
D ．2和4
【考点】1W ：算术平均数；4W ：中位数；5W ：众数
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x 的
值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
【解答】解：这组数的平均数为
24844
x +++=， 解得：2x =；
所以这组数据是：2，2，4，8；
中位数是(24)23
+÷=，
2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，
所以众数是2；
故选：A．
【点评】本题考查平均数和中位数和众数的概念．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(2,3)
-．经画图操作可知ABC
∆的外心坐标可能是()
A．(2,1)
--B．(1,0)C．(0,0)D．(2,0)
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；5
D：坐标与图形性质
【分析】首先由ABC
∆的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为ABC
∆的外心．
【解答】解：ABC
∆的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴与MN的交点O'即为所求的ABC
EF
∆的外心，
--．
ABC
∴∆的外心坐标是(2,1)
故选：A．
【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交
点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）
9．（4分）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知甲的成绩更稳定．
【考点】7
W：方差
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为22
1.2 3.9
S S
=<=
乙
甲
，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为：甲；
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（4分）已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现
从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是3
5
．
【考点】4
X：概率公式
【分析】直接根据概率公式计算．
【解答】解：摸到红球的概率
33 325
==
+
．
故答案为3
5
．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
11．（4分）已知线段4
a=，9
b=，线段x是a，b的比例中项，则x等于6．
【考点】2
S：比例线段
【分析】根据已知线段4
a=，9
b=，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：4
a=，9
b=，线段x是a，b的比例中项，
∴a x
x b
=，
24936 x ab
∴==⨯=，
6
x
∴=±，6
x=-（舍去）．故答案为：6．
【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
12．（4分）一元二次方程23x x =的解是： 10x =，23x = ．
【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）23x x =，
230x x -=，
(3)0x x -=，
解得：10x =，23x =．
故答案为：10x =，23x =．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程
的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
13．（4分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树
的影长为4.8米，则这棵树的高度为 9.6 米．
【考点】SA ：相似三角形的应用
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过
物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设树高为x 米， 因为
=人的身高树的高度人的影长树的影长， 所以1.60.8 4.8
x =， 2.354.8
x = 4.829.6x =⨯=．
答：这棵树的高度为9.6米．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的
三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．（4分）圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为
120︒ ．
【考点】MP ：圆锥的计算
【分析】根据圆锥的侧面积公式S rl π=得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出
圆心角的度数．
【解答】解：侧面积为3π，
∴圆锥侧面积公式为：13S rl l πππ==⨯⨯=，
解得：3l =，
∴扇形面积为2
33360
n ππ⨯=， 解得：120n =，
∴侧面展开图的圆心角是120度．
故答案为：120︒．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母
线长是解决问题的关键．
15．（4分）二次函数2y x bx c =++的图象上有两点(3,4)和(5,4)-，则此抛物线的对称轴是
直线x = 1- ．
【考点】3H ：二次函数的性质
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线1
x =-对称，由此可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：点(3,4)和(5,4)-的纵坐标相同，
∴点(3,4)和(5,4)-是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线1x =-对称，
∴抛物线的对称轴为直线1x =-．
故答案为1-．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是(2b a
-，24)4ac b a -，对称轴直线2b x a
=-． 16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边
心距OM 的长为
【考点】MM ：正多边形和圆
【分析】根据正六边形的性质求出BOM ∠，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB ，
六边形ABCDEF 是O 内接正六边形， 3603062BOM ︒∴∠==︒⨯， 3cos 6332
OM OB BOM ∴=∠=⨯=； 故答案为：33．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记
余弦的概念是解题的关键．
17．（4分）如图，已知AB 是O 的直径，弦CD 与AB 相交，若24BCD ∠=︒，则ABD ∠的度数为 66 度．
【考点】5M ：圆周角定理
【分析】根据圆周角定理可求90ADB ∠=︒，即可求ABD ∠的度数．
【解答】解：连接AD ，
AB 是直径，
90ADB ∴∠=︒，
24BCD ∠=︒，
24BAD BCD ∴∠=∠=︒，
66ABD ∴∠=︒，
故答案为：66
【点评】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求90ADB ∠=︒是本题的关键．
18．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x >时，y
随x 值的增大而增大；
⑤当0y >时，13x -<<． 其中，正确的说法有 ①②④ （请写出所有正确说法的序号）．
【考点】4H ：二次函数图象与系数的关系；HA ：抛物线与x 轴的交点
【分析】①由抛物线的开口方向可以确定a 的符号，由抛物线对称轴和开口方向可以确定b
的符号；
②利用图象与x 轴的交点坐标即可确定方程20ax bx c ++=的根；
③当1x =时，y a b c =++，结合图象即可判定是否正确；
④由图象可以得到抛物线对称轴为1x =，由此即可确定抛物线的增减性；
⑤当0y >时，图象在x 轴的上方，结合图象也可判定是否正确．
【解答】解：①抛物线开口方向朝上，0a ∴>，又对称轴为1x =，0b ∴<，0ab ∴<，
故正确； ②二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点为(1,0)-、(3,0)，∴方程20ax bx c ++=的
根为11x =-，23x =，故正确； ③当1x =时，y a b c =++，从图象知道当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，故错误； ④抛物线的对称轴为1x =，开口方向向上，∴当1x >时，y 随x 值的增大而增大，故正
确； ⑤当0y >时，图象在x 轴的上方，而抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(3,0)，
∴当0y >时，1x <-，3x >，故错误．
故正确的结论有①②④．
【点评】由图象找出有关a ，b ，c 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入
法求得特殊的式子，如：y a b c =++，y a b c =-+，然后根据图象判断其值．
三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）
19．（6101()(3)2
π-+- 【考点】6F ：负整数指数幂；2C ：实数的运算；6E ：零指数幂
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】101()(3)2
π-++- 221=++
5=．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．（6分）解方程：2560x x --=．
【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法
【分析】把方程左边进行因式分解得到(6)(1)0x x -+=，则方程就可化为两个一元一次方程
60x -=，或10x +=，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：2560x x --=，
(6)(1)0x x ∴-+=，
60x ∴-=或10x +=，
16x ∴=，21x =-．
【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的方法：先把方
程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
21．（6分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，3-，5-，7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张．请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字的乘积为正数的概率．
【考点】6X ：列表法与树状图法
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两人抽到的数字的乘积为正数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
所有等可能的结果有12种，其中两人抽到的数字的乘积为正数的有4种， 因此两人抽到的数字的乘积为正数的概率为41123
=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
22．（6分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，CAD ABC ∠=∠．判断
直线AD 与O 的位置关系，并说明理由．
【考点】5M ：圆周角定理；MA ：三角形的外接圆与外心；MB ：直线与圆的位置关系
【分析】由90ABC BAC ∠+∠=︒且CAD ABC ∠=∠知90CAD BAC ∠+∠=︒，据此可得．
【解答】解：直线AD与O相切．
AB是O的直径，
∴∠=︒．
90
ACB
ABC BAC
∴∠+∠=︒．
90
又CAD ABC
∠=∠，
∴∠+∠=︒．
CAD BAC
90
∴直线AD与O相切．
【点评】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与
这点（即为半径），再证垂直即可．
四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．)
（1）填空：样本容量为100，a=；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【考点】3
V：频数（率)分
V：用样本估计总体；8
V：总体、个体、样本、样本容量；5
布直方图；VB：扇形统计图；8
X：利用频率估计概率
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分
比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【解答】解：（1）
54
15100
360
÷=，
所以样本容量为100；
B组的人数为100153515530
----=，
所以
30
%100%30%
100
a=⨯=，则30
a=；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于160cm的人数为153045
+=，
样本中身高低于160cm的频率为
45
0.45 100
=，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
24．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为2
112m，求小路的宽．
【考点】AD：一元二次方程的应用
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(162)x
-，(9)x
-；
那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为(162)x
-，(9)x
-．
根据题意即可得出方程为：(162)(9)112
x x
--=，
解得
11
x=，
216
x=．
169
>，
16
x
∴=不符合题意，舍去，
1
x
∴=．
答：小路的宽为1m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．25．（8分）如图，在矩形ABCD中，6
AB=，8
BC=，点E是BC边上的一个动点（不与点B．C重合），连结AE，并作EF AE
⊥，交CD边于点F，连结AF．设BE x
=，CF y
=．（1）求证：ABE ECF
∆∆
∽；
（2）当x为何值时，y的值为2．
【考点】LB：矩形的性质；9
S：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由余角的性质可得BAE FEC
∠=∠，且90
B C
∠=∠=︒，可证ABE ECF
∆∆
∽；
（2）由相似三角形的性质可得AB BE
EC FC
=，即可求解．
【解答】证明（1）四边形ABCD是矩形，
90
B C
∴∠=∠=︒，
EF AE ⊥，
90AEF B ∴∠=︒=∠，
90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90FEC AEB ∠+∠=︒，
BAE FEC ∴∠=∠，且B C ∠=∠，
ABE ECF ∴∆∆∽；
（2）ABE ECF ∆∆∽； ∴AB BE EC FC =， ∴68x x y =- 当2y =时，则28120x x -+=， 2x ∴=或6
x ∴的值为2或6时，y 的值为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明ABE ECF ∆∆∽是本题的关键．
五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）
26．（8分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的
仰角为30︒，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为
60(A ︒、B 、D 三点在同一直线上）
．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1)m ．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈
【考点】TA ：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得ACB ∠的度数，得到BC 的长度，然后在直角
BDC ∆中，利用三角函数即可求解．
【解答】解：CBD A ACB ∠=∠+∠，
603030ACB CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
A AC
B ∴∠=∠，
10BC AB ∴==（米)．
在直角BCD ∆中，sin 105 1.7328.7CD BC CBD =∠==⨯=（米)． 答：这棵树CD 的高度为8.7米． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
27．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使
农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种产品每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【考点】HE ：二次函数的应用
【分析】（1）根据销量乘以每千克利润=总利润进而得出答案；
（2）利用二次函数最值求法得出2b x a
=-时，W 取到最值，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题得出：2(20)(20)(280)21201600w x y x x x x =-=--+=-+-， 故w 与x 的函数关系式为：221201600w x x =-+-；
（2）22212016002(30)200w x x x =-+-=--+，
20-<，
∴当30x =时，w 有最大值，w 最大值为200．
即该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大利润为200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据表示出总利润与x 的关系是解题关键．
六、解答题（本大题10分）
28．（10分）如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为(1,1)A ，且与直线2y x =-交于B ，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）求ABC ∆的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN x ⊥轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF ：二次函数综合题
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；
（2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，与x 轴交于D ，得到21y x =-，求得13222
BD =-=于是得到结论；
（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当MON ∆和ABC ∆相似时，利用三角形相似的性质可得MN ON AB BC =或MN ON BC AB =，可求得N 点的坐标． 【解答】解：（1）顶点坐标为(1,1)，
∴设抛物线解析式为2(1)1y a x =-+，
又抛物线过原点，
20(01)1a ∴=-+，解得1a =-，
∴抛物线解析式为2(1)1y x =--+，
即22y x x =-+，
联立抛物线和直线解析式可得222y x y x ⎧=-+⎨=-⎩
， 解得20x y =⎧⎨=⎩或13
x y =-⎧⎨=-⎩， (2,0)B ∴，(1,3)C --；
（2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，与x 轴交于D ，
把(1,1)A ，(1,3)C --的坐标代入得13k b k b =+⎧⎨-=-+⎩
， 解得：21
k b =⎧⎨=-⎩， 21y x ∴=-，
当0y =，即210x -=， 解得：12
x =， 1(2
D ∴，0)， 13222
BD ∴=-= ABC ∴∆的面积131********
ABD BCD S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=； （可以利用勾股定理的逆定理证明90)ABC ∠=︒．
（3）假设存在满足条件的点N ，设(,0)N x ，则2(,2)M x x x -+，
||ON x ∴=，2|2|MN x x =-+，
由（2）知，AB =BC =，
MN x ⊥轴于点N ，
90ABC MNO ∴∠=∠=︒，
∴当ABC ∆和MNO ∆相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当
MN ON AB BC =时， ∴2
=1|||2|||3x x x -+=， 当0x =时M 、O 、N 不能构成三角形，
0x ∴≠，
1|2|3
x ∴-+=， 123x ∴-+=±，解得53
x =或73x =， 此时N 点坐标为5(3，0)或7(3
，0)；
②当
MN ON BC AB =时， ∴2
，
即|||2|3||x x x -+=，
|2|3x ∴-+=，
23x ∴-+=±，
解得5x =或1x =-，
此时N 点坐标为(1,0)-或(5,0)，
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为5(3，0)或7(3
，0)或(1,0)-或(5,0)． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。