第二章--工业机器人运动学和动力学

第二章 工业机器人运动学 空间P点P(x,y,z)到点的旋转。且绕固定坐标系 （ x ， y ， z ）的 x 轴旋转。旋转后 P(x,y,z) 与的关 系：
x x y y cos z sin z y sin z cos
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0 x 1 y 0 cos 写成矩阵形式为 z 0 sin 0 1 0 0 sin cos 0 0 x y 0 0 z 1 1
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2.2 工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵 2.2.1 关节与连杆 1.自由度 物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度
li
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2.关节与连杆 工业机器人由若干运动副和杆件连接而成，这些杆件称为 连杆，连接相邻两个连杆的运动副称为关节。 3.关节轴线
x 1 y 0 z 0 1 0 0 1 0 0 0 x x y 0 y 1 z z 0 1 1
P Trans( x, y, z ) P
第二章 工业机器人运动学 2.旋转的齐次变换 设动坐标系（n ,o ,a）位于参考坐标系（x ,y ,z） 的原点，坐标系（n ,o ,a）绕参考坐标系的x轴旋转一 个角度θ。
cos i sin i sin cos i i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 d i 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
pX p Y P pZ 1
第二章 工业机器人运动学 而用（n, o, a）分别表示为在参考坐标轴的单 位方向矢量，则刚体的位姿（4x4）矩阵：
nx n y T nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
Pxyz Rot (a,90) Trans(4, 3,7) Rot (o,90) P noa
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px 0 1 p 1 0 y pz 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 3 1 7 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 7 0 3 6 0 0 2 0 1 1 1
l i 1 0 0 0 0 cos i sin i 0 0 sin i cos i 1 0 0 0
0 0 0 1
cos i sin i cos i sin i cos i l i cos i sin sin cos sin sin l sin i i i i i i i 0 sin i cos i di 0 0 0 1
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例1：SCARA装配机器人的三个关节轴线是相互平行的，{0}、 {1}、{2}、{3}分别表示固定坐标系、连杆1的动坐标系、连杆2 的动坐标系、连杆3的动坐标系，分别处在关节1、关节2、关节 3和手部中心。
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2.2.3连杆变换矩阵
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Ai Rot ( z , i )Trans (0,0, d i )Trans ( l i ,0,0)Rot ( x i , i )
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px 1 p 0 y pz 0 1 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 3 1 7 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 7 6 3 4 0 0 2 10 1 1 1
p Rot ( x, ) p
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k x2 (1 cos ) cos k k (1 cos ) k z sin Rot (k , ) x y k x k z (1 cos ) k y sin 0 k x k y (1 cos ) k z sin 2 ky (1 cos ) cos k y k z (1 cos ) k x sin 0 k x k z (1 cos ) k y sin k y k z (1 cos ) k x sin kபைடு நூலகம்z2 (1 cos ) cos 0 0 0 0 1
ox o o y oz 0
ax a a y az 0
第二章 工业机器人运动学 4.动坐标系位姿的描述 相对于固定参考坐标系的新坐标系的位置可以用原 来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。 当动坐标系（n, o, a）在参考 坐标系（x,y,z）中表示如图示： 这时变换矩阵
第二章 工业机器人运动学 例3 根据上例，坐标系上的点P（7，3，2）经历相 同变换，但变换按如下不同顺序进行，求出变换后该 点相对于参考坐标系的坐标。 （1）绕z轴旋转90度； （2）接着平移[4，-3，7]； （3）接着再绕y轴旋转90度。 解： 表示该变换的矩阵方程为：
Pxyz Rot( y,90) Trans(4, 3,7) Rot ( z,90) P noa
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1.主要研究机器人各个坐标系之间的运动关系，是机 器人进行运动控制的基础。 2.由机器人关节坐标系的坐标到机器人末端的位置和 姿态的之间的映射，称为机器人的正向运动学。 3.由机器人末端的位置和姿态到机器人关节坐标系的 坐标的映射，称为逆向运动学。 4.基于位置的运动控制，通常采用正向运动学和逆向 运动学对机器人末端的运动轨迹进行控制。
第二章 工业机器人运动学 3.坐标轴方向的描述 用n, o, a 来表示直角坐标系中x,y,z坐标轴的单 位向量，用三个相互垂直的单位向量来表示一个中心 位于参考坐标系原点的坐标系，分别为n,o,a。这样 坐标系就可以由三个向量以矩阵的形式表示为
nx n n y nz 0
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px 0 p 0 y pz 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 3 1 7 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 7 9 3 4 0 0 2 1 1 1 1

2

2
0 x 1 0 y 0 z 0 0 1 0 1
0 0 0 2 2 3 4 0 1 0 1 0 0 4 3 0 0 1 1 1
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例1：旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系 绕参考坐标系x轴旋转90度。求旋转后该点相对于参 考坐标系的坐标。 解： 由于点P固连在动坐标系中，因此点P相对 于动坐标系的坐标在旋转前后保持不变。该点相对 于参考坐标系的坐标为：
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0 1 x 0 cos y 2 z 0 sin 2 1 0 0 0 sin cos 0
第二章 工业机器人运动学 例 2 固连在坐标系（ 7,3,2 ）上的点经历如下变 换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 (1)绕z轴旋转90度； (2)接着绕y轴旋转90度； (3)接着再平移[4，-3，7]。 解： 表示该变换的矩阵方程为：
Pxyz P3.xyz Trans(4, 3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) Pnoa
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4. 相对于旋转坐标系的变换 例4 假设与例2中相同的点现在进行相同的变换，但 所有变换都是相对于当前的运动坐标系，具体变换出 如下。求出变换完成后该点相对于参考坐标系的坐标。 （1）绕a轴旋转90度； （2）然后沿n,o,a轴平移[4，-3，7]； （3）接着绕o轴旋转90度。 解：在本例中，因为所作变换是相对于当前坐标系的， 因此右乘每个变换矩阵，可得表示该坐标的方程为：
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2.1.2 齐次变换的描述 在工业机器人中，刚体的连杆的运动 1.平移运动 2.旋转运动 3.平移加旋转运动
第二章 工业机器人运动学 1.平移的齐次变换 空间P点P(x,y,z)到点 P( x, y, z) 的平移。
x x x y y y z z z
1 0 0 px 0 1 0 p y Tp 0 0 1 pz 0 0 0 1 表示P点坐标的矩阵
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5.刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆可视为一个刚体，若给定 刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这 个刚体在空间是唯一确定的。
第二章 工业机器人运动学 2.1.1.工业机器人位姿描述 以工业机器人为例，机器人实际上是一系列关节 连接起来的连杆组成，把坐标系放在机器人的每一个 连杆的关节上，可用齐次变换来描述这些坐标系间的 相对位置和姿态方向。
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1.点的位置描述 直角坐标系中，空间任一点P的位置可用矢量描述
ˆ ˆ by ˆ P ax i j cz k
第二章 工业机器人运动学 用（3x1）矩阵表达
ax P b y cz
2.点的齐次坐标 若用四个数组成的（4x1）列阵表示三维空间直 角坐标系中的点P，则该列阵为三维空间点P的齐次 坐标 . aX b Y P cZ 1
对于旋转关节，其转动轴线的中心线作为关节轴线。对 于平移关节，取移动方向的中心线作为关节轴线。 4.连杆参数 (1) 连杆长度 l i (2) 连杆扭转角 i
(3)连杆偏移量 d i (4) 关节角 i
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2．2．2 连杆坐标系 1.建立连杆坐标系的方法