浅谈自然数幂和公式

浅谈自然数幂和公式
一、自然数幂和是什么：
所谓自然数幂和 ,系指
)
(211
N p r
n n
r p
p p p ∈=
+⋅⋅⋅++∑= (1)
在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。

(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。

二、自然数幂和是怎么来的：
公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。

如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。

如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得
n n n n n 21
212)1(212+=+=
+⋅⋅⋅++ (2)
毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式
2
)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)
公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:
])()2([3)2())(1(2
222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得
n
n n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)
公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即
113
=(1个奇数) ,
5323
+=(2个奇数) ,
119733
++=(3个奇数) ,
1917151343
+++=(4个奇数） ,
… … … … … …
)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12
-+⋅⋅⋅n n
之
和 ,从而由 (2)、(3)即得
2
34233341
2141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)
《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一
些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角
个数为 r ,则和 (包括 1)为 2
)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出
33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .
公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是
)
61
3)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所
示, 设边),1(21
21+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2
,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个 矩 尺 形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 D
C B '
的面积
)
(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='
而
n B B n n D C n n BC ='-=''+=
,2)1(,2)1(故3
]2)
1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='
同理，
3
3)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。

因此有
2
333)]1(21
[21+==+⋅⋅⋅++n n S n ABCD 【1】
三、自然数幂和公式：
自然数幂和是一个古老的题目，数学史上有许多记载。

自古希腊的阿基米德至现代的陈景润等学者都对此问题进行过深入研究，得到了好的结果。

（一）陈景润的公式
陈景润等利用组合数学的相关知识 ,通过大量的计算和复杂的证明得到了
自然数幂和的规律
∑=+n
i k i
1
1
2是2
2)1(+n n 与)1(+n n 的)1(-k 次有理多项式的乘积 ,
而∑
=
n
i
k
i
1
2
是)1
2
)(
1
(+
+n
n
n与)1
(+
n
n的)1
(-
k次有理多项式的乘积。

【2】
（二）李善兰的公式
清朝数学家李善兰先生在他的著作《垛积比类》中提出的一种数列求和公式。

公式具体内容:
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公
式。

其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n 幂的求和公式的递进推导。

【3】 （最终推导至李善兰自然数幂求和公式）
（三）自然数幂次方和的另一组公式
一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多
项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k
n C 表示的方法，并且给出了
相应的系数完整表达式。

这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。

自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用k
n C 表
示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k
n C 表达出来。

假设自然数幂次方和可以写成以下形式
∑∑=++===p
k k n k n
k p
n C A k
S 11
1
1 。

（1） 那么同理可应有：
∑∑=++--=-==p
k k n k n k p
n C A k S 1
11)1(1
1
1
那么：
∑∑=+=++--=-=p
k k n k p
k k n k n n p
C A C
A S S n 11
11
1
1
[]∑∑==+++=-=p
k k n
k
p
k k n
k n k p
C
A C
C
A n 1
1
111
∑==
p
k k n
k
p
C
A n
1
因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中： )1).....(1(k n n n C k
n
-+-=
这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。

分别令n=1,2,3， 。

p-1时就有： 01
1
1
1
+=+
==∑∑∑∑=+===t
k k t k p
t k k t
k
t
k k t
k p
k k
t
k p
C A C
A C A C A t
∑==
t
k k t
k
p
C
A t 1
)1...3,2,1(-=p t 。

（2)
∑-=-=11
t k k t k p
t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。

（3） 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A 可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。

其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下面给出这个结论。

引理：i
t i t i
t i k i k i k
k t C C C --=---=-∑)1()1( 。

（4）
证明：令：∑-=-----=-=i
t j j i t j i t j i
t C x x x f 0
)1()
1()(
∑-=--==i
t j j i t j C f 0
)1(0)1(
令k=i+j 的，则j=k-i ，同时两边分别乘以i t C ，那么 i
k t
i
k t
i
k i k i
t i t i
k i k i
t C C C
-==------=-=
∑∑)1()
1(0 。

（5） 因为有：
k t
i k i t i t i k i
k k t i t i t i k C C C C i i k k t t i k i k k t k t C C i k t i k t i t i t k t i k i t C C =--=--=--=
----=
----所以：!
)!()!(!)!(!!)!(!!!)!()!(!
)!(!!)!()!()!(
因此（5）式可以变换为：
i
t i t t i
k i k k t i k
t i k i
k k t i
k i
t
i
t t i
k i
k k t i k i t i t t i
k i
k k t i
k i
t
i t t
i
k t
i
k i
k k t i
k i
k i k i
t i
t
C C
C C C C C C C C C C C C C
C --=--=---=---=--==------=--+-=-+-=-+-=-=-=∑∑∑∑∑∑)1()1()1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()
1(01
1
1
1
证毕。

定理：∑=-•-=
k
i p i k i
k k i C A 1
)
1( )1...3,2,1(-=p k 。

（6）
证明：（1）当k=1时，由（3）式得1=k A ，代入定理公式中，可知结论成立。

（2）假设当k<t 时，结论均成立，那么由（4）式知：
∑∑∑∑∑-=-=--==--=--=•--=-=11
1
1
11
1
1
)
1()
1(t i t i
k i
k i k
k t
p
p
t k k
i p i k i
k k
t
p
t k k
t k p
t C C i
t i C C t C A t A
由引理（4）式可知：
∑∑∑=--=--=+-•-=•-+=-•-=t
i p
i t i t t t i p
i t
i t p
t i i t i t p p
k i C A i C t C i t A 1
1
11
1
1
)1()1()1(
即结论对于k=t 也是成立的。

（证毕）【4】
四、参考文献
【1】汪晓勤，自然数幂和公式之历史发展，★数学史话★，中学数学教学参考， 1997年第5期
【2】郭松柏 ,沈有建，自然数方幂和的通项公式，高等数学研究，Vol. 13 ,No. 1 Jan. , 2010
【3】《高等数学》教材编委会．《高等数学（第六版）》：高等教育出版社2007年。