函数一致连续地若干方法

函数一致连续的若干方法
学生姓名：钱建英学号:20115031297
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
指导教师：段光爽职称：讲师
摘要函数在区间上的一致连续性是学习数学分析课程中的重要理论之一，本
文主要讲述了函数在有限区间与无线区间上一直连续的若干方法并举例说明
关键词函数；一致连续；极限；
Severalmethodsofuniformlycontinuousfunction
Abstract Thefunctionuniforminintervalisoneofthemostofimportanttheoriesinthe mathematicsanalysiscourse.thispaperdescribesseveralmethodsfunctiononafiniteinterval withawirelessrangehasbeencontinuousandillustrated.
Keywords:functionconsistent-continuitylimit.
0前言
一致连续是在数学分析中频繁用到的概念，是数学分析中经常涉及的问题，
并且一致连续性问题是数学分析中的主要理论，函数一致连续与处处连续有着本
质的区别：处处连续是局部概念而一致连续是函数和区间共同决定的，是整体的
概念.目前数学分析课本上的判别法大多是利用函数一致连续的定义，没有提出
一些直观的判别法.对于初等函数一致连续的问题并没有系统的总结，函数非一
致连续也是利用定义，没有直观判别.
函数一致连续性的判定是学习数学分析的重点和难点，因此寻找函数一致连
续性的较为直观的判定方法非常重要，对于今后的学习以及数学分析教学有帮
助，学习函数一致连续性时有更加直观的感觉，建立感性认识，将一致连续与其
他知识联系起来，开阔分析问题的思路，为其他问题的解决奠定基础，本文给出
了一些判定方法.
1有限区间上函数一致连续
1.1一致连续性定义
设f为定义在区间I上的函数.若对任给的0，存在0，使的对
任何的x,xI,只要xx，就有
fxfx.
则称函数f在区间I上一致连续.
f在I上一致连续意味着：任意的两点x,x,不论这两点在I中处于什么位
置，只要它们的距离小于，就可得到fxfx.
1
1.2有限区间上一致连续性定理
定理1如果函数f在闭区间a,b上连续，那么可以得到函数f在a,b一致连续.
证若不然，则00，以及点列x n,y n a,b虽然
limx n y n0，
n
但是
fx n fy n0,n1,2,
因为
n有界，所以由致密性定理，n有一个收敛的点列n，
k
设
，
limxx
n0
k
k
从而
.
limylimyxxx
n k nnn0
kkk
kk
又因为ax n b，由极限的不等式性质我们可以推得ax0b，可知f在点
k
0连续.
0limfxfyfx0fx0
0.
n k n
k
k
矛盾.
定理2若函数f在开区间a,b上连续，那么f在a,b上一致连续的充要条件是fa0,fb0均存在.
证明做函数f的连续延拓函数f，
令
fa0,x a
.
ffx,xa,b
fb0,x b
易知函数fx在a,b上连续，由函数一致连续定理可知fx在a,b上一致连
续，必在开区间a,b上一致连续，即在开区间a,b上一致连续.
由函数f在开区间上a,b一致连续的定义可知，
0,0,x,xa,b，
2
当xx时，有fxfx，故x,x a,a，
2
可得
xxxaax，
因此
fxfx.
由柯西收敛准则知fa0存在，同理可证fb0存在.
定理3函数f在区间I上一致连续的充要条件
任意的x n,yI,x N y n n，就有fx n fy n n
n
由于数列x
n,y是任意性，所以该定理常可用于证明函数不是一致连续.
n
1.3有限区间上一致连续性条件
推论1设fx在有限区间a,b上连续，那么由上面定理可知fx在a,b上一致
连续充要条件是极限fa0,fb0均存在.
推论2设fx在有限区间a,b上连续，那么有上面定理可知fx在a,b上一致
连续充要条件是极限fa0,fb0均存在.
2无限区间上一致连续
2.1无限区间上一致连续判定定理
定理4若函数f在a,上连续，且fx极限存在，则f在a,一致连续.
，则f 定理5设f在a,连续，g在a,上一致连续，且limfxgx0
x
在a,一致连续.
证明由与limfxgx0，所以0,Aa,x,xA，
可得
fxgx.
3
以及
fxgx.
3
3
由于函数g在a,上一致连续，因此0,0,x,xA，且xx，
因此
gxgx.
3
因此，x,xA，xx，可得
fxfxfxgxgxgxfxgx.
f在a,上一致连续，又因为f在a,A上一致连续，所以f在a,上一致
连续.
直观表述：若连续函数在无穷远出可以充分贴近一个一致连续函数，那么这个函数必定一致连续.
定理6若函数f在a,可导，并且limfx，则f在a,上一致连续的
x
充要条件是为常数.
证明如果为常数，由局部有界性可知，Aa，使得fx在区间A,
上有界，又由于f在区间A,上一致连续，所以f在区间a,A上一致连.
1 反证法：设limfx则0,0,取
2
1
G，因此Aa,xA,可得
fxG，取x1xA,x1x2,那么我们跟据拉格朗日定理可得
,2
2
1
fx1fxfxxG.
22
212
因此可得f在区间A,上不是一致连续，这和f在区间a,上一致连续
相矛盾.
这个结论使得许多初等函数在无限区间上一致连续与不一致连续的判别方法变得简单.
2.2无限区间上一致连续性条件
推论3如果函数f在区间,b上连续，并且limfxA，那么f在,b上
一致连续.
推论4函数f在区间a,上一致连续的充分条件是f在区间a,上连续并
且fa0和f都存在.
推论5函数f在区间,b上一致连续的充分条件是f在,b上连续且
fb0和f都存在.
4
结论1若函数f,g在Ia,上连续，并且函数f,g满足：
1limfxlimgx；
2f,g在I上可导，并且gx0；
fx
3lim存在；
gx
fx
如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.
gx
结论2如果函数f,g在I,b上连续，并且函数f,g满足：
1limfxlimgx；
2f,g在I上可导，并且gx0；
fx
3lim存在；
gx
fx
如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.
gx
结论3如果函数f,g在I,上连续，并且函数f,g满足：
1limfxlimgx
2f,g在I上可导，并且gx0存在
fx
如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.
gx
2.3一致连续的四则运算
1如果fx,gx两个函数在区间I上存在有界的导数，可以得出fxgx在区间上一致连续.
2如果fx,gx两个函数在区间I上一致连续，那么存在任意的常数,使得fxgx在区间上一致连续.
3如果fx,gx两个函数在区间上I存在有界的导数，可以得出fxgx在区间上一致连续.
5
4如果fx,g x两个函数在区间I上一致连续且有界，可知fxgx在区间上
一致连续.
性质1如果函数f在有限区间I上一致连续，那么函数f在有限区间I上有界.
证明
若设函数f在Ia,b内一致连续，那么由一致连续的定义可知，令1
0，
ba
0，当x1,x2a,b并且x1x2，
3
恒有
fx1fx1.
2
我们将a,b分为a,a，
2 a,b和b,b
222
，那么
1当x a,a时，可以得到
2
fxfxfafa1fa.
222
2当xb,b
2
时恒有：
fxfxfb1fb.
22
3当x a,b时，由闭区间连续函数的有界性的定理知，M0使得
22
当
xa,b
22
时，有
fxM
若
Mmax1fa,1fa,M，
22 那么对于任意的xa,b都有fxM.
6
性质2设函数f在I
1,I两个区间上一致连续，并且I1,I2两个区间交集不等于空
2
集，那么函数f在I1I2上也一致连续.
证明若I
1I或I1I2，结论显然成立.
2
假设I1,I2两个区间之间不相互包含，因为f在I1,I2上面一致连续，所以对于任
意的0.0
1，对于任意的x1,x2I1，
并且有
x1x，
21
那么
fx1fx.
2
而且20，对于任意的x1,x2I2，
并且
x1x，
22
有
fx1fx.
2
因为I1,I两个区间的交集不等于空集，所以取x0属于I1,I2的交集，又因为函数f 2
在I两个区间上一致连续，所以f在x
0连续.对于上面的正数，30，
1,I I两个区间上一致连续，所以f在x0连续.对于上面的正数，30，2
当x I
1I，有xx03
2
那么
fxfx/2.
取m in
1,,，x1,x2I1I2，当x1x2时，就有
23
1若x1,x2I1，或者x1x22，
有
fx1fx.
2
2若x1I1，x2I2
那么
x1xxxxx，
001213
7
fx1fx/2，
2
同理可得
f x2fx/
2所以有f在
f x1fx/2/
2
2因此f在I1I2上一致连续.
3函数一致连续实例
3.1有限区间上一致连续实例
例1证明函数y 1
x
在0,1上不一致连续.
证由一致连续性的定义知，证明函数在某区间上不一致连续，只需证明：
0，尽管对于任意的正数(无论多么小)，总是存在两点x,xI，
虽然
xx，
但存在
fxfx.
对于函数y 1
x
，我们可取01，无论对于多么小的正数
1
2
，只要取x
和x可知，虽然
2
xx 但是
1 x 1
x
1
1 .
所以函数y 1
x
在0,1上不一致连续.
例2求证 f
1
sin在区间0,1上不一致连续.
x
证证明函数fx
1
sin在区间0,1上不一致连续，只需证明存在两个数x
8
列x n ,yI ,存在limxx0
n n
，但是limfxfx0 n
.
11
我们取,x ,n 1,2
x n n
2n 2n
2
虽然有
limx n y n 0.
n
但是
sin 11 sin
x n y
n
1 .
由此可知
f
1 sin 在区间0,1上不一致连续.
x
例3如果有一个函数f 在闭区间a,b 上一致连续，求证：存在一个函数gy 在0,具备下面的性质：
1gy 在上单调递增，且当yba 时，gy 等于常数. 2对任意的x,x a,b ，有fxfxgxx. 3limgy0
y0
. 证明令
sup x,xa,b
gyxxy
f xfx,0hba gba,h ba
那么gy 在上单调递增，对任意的x,x a,b ，有
fxfxgxx.
并且当yba 时，
gygba.
又因为fx 在闭区间a,b 上一致连续，由一致连续性定理，0,0，使 得x 1,x a,b 时，x 1x 2，得到
2
fx 1fx.
2 9
对于任意的y，满足0y，如果x1,xa,b并且x1x2y，
2
gy supfxfx.
xxa,b
所以
lim
y0
g y 0.
3.2无限区间上函数的一致连续
例1如果fxarctgx在区间,1和0,上一致连续，求证fx在,上一致连续.
证：因为fxarctgx在区间,1和0,上是一致连续的，所以对于任意
的0,0，当
1
x1,x21,,x1x21，可以得出fx1fx2
并且存在20,当x
1,x20,时，可以求的fx1fx2
所以取m in1,,，那么当
12 x x并且当
1,2,
x x
12
时，x1,x2同时属于,1或者同时属于0,，
所以
fxfx.
12 成立.
综上可知fx在,上一致连续.
例2证明函数fxsinx x cosx
2
x 1
在a,上的一致连续性.
证取一个函数gxsinx，由于初等函数在其区间上是一致连续的，所以gxsinx
一致连续.
又因为
limfxgx0.
x
所以fx在区间上一致连续.
参考文献
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