一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究
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杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报（ 自然科 学 版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｄｉ ａ ｎ ｚ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
Ｖｏ Ｉ ＿ ３７ Ｎｏ ．４
０ 引 言
Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统是 首个 被发 现 的混沌 系统模 型 ， 继Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统 之后 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 、 Ｌ ｎ系统 等相 继被 提
出， 这些 系统 与 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系 统相 比均 有不 同 的拓扑 结构 ． 近年 来 ， 各 种新 混 沌 系统 不 断被 发 现 ， 如 多翼 混
沌 系统 引、 超混 沌 系统 、 具有 恒定 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 的混 沌 系 统 引、 级 联混 沌 系 统嘲等 ． 研 究 发现 ， 许 多
系统 具有 多稳 定性 ， 而 一些 具有对 称 性 的系统 在更 大 的参 数 空 间上 存 在 对称 的共存 吸引 子［ ７ ＿ ９ ］ ． 具 有 共 存 吸引 子 的混沌 系统在 信息 加密 和保 密通 信等 领域 具有 较 好 的应 用 价值 ． 本 文 提 出 了一 个新 的三维 连 续混 沌 系统 ， 不仅 具有 一般 混沌 系统 的特性 ， 其 创新 点在 于具 有共 存 吸引子 ， 即在参 数确 定 的情况下 ， 不
２ ０
４ ０
６ Ｏ
８ Ｏ
ｌ ０Ｏ
（ ｃ ） Ｙ 一 ห้องสมุดไป่ตู้ 截 面
时 间／ ｍｓ （ ｄ ） 时 序图
图 １ 混 沌 吸 引子 图
（ ， 一 ， １ ） 一（ ０ ， ， ０ ） ， Ｓ 一（ ０ ， 一 ， ０ ） ． 在平 衡点 Ｓ 与 Ｓ ！ 处线性 化 可得 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 矩阵 为 ：
新 系统 动力学 方 程描述 为 ：
ｆ 一 口 （ ＋ ｚ ）
＜ ｙ— ｚ ２ ＋ｙ ｚ （ １ ）
ｌ 乏 一 ｂ 一 ３ ， ｚ
当参数 口 一１ ． ０ ， ６ —５ ． ０ ， 初值 为 （ ０ ． ０ １ ， 一０ ． ０ １ ， 一１ ． ０ ０ ） 时， 系统 具有 双涡卷 混沌 吸引 子 ， 如图 １ （ ａ ） 、
同的初始 值诱 发 系统进 入不 同的轨道 最终 形成 不 同的吸 引子 ［ ｇ ］ ． 设计 了新 系统 的实 现 电路 ， 得 到了一 种
混 沌吸 引子 ． 新 系统 的混沌 序列 具有 良好 的伪 随机性 ， 可 作 为密钥 序列设 计效 果更 好 的加密算 法．
１ 新 的 三维 连 续 混 沌 系统
Ｊ ｕ １ ．２ ０ １ ７
一
个 新 的混沌 系统及 其共存 吸 引子 的研 究
史传 宝 ， 王光 义 ， 臧 寿 池
（ 杭 州 电子 科 技 大 学 电 子 信 息 学 院 ， 浙江 杭州 ３ １ ０ ０ １ ８ ）
摘要： 为进 一步研究混 沌系统特性 ， 提 出 了一 个 具 有 多 稳 定 性 的 三 维 连 续 混 沌 系 统． 通过平 衡点 、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 、 分 岔 图和 动 力 学 地 图 分 析 了 系 统 受 参 数 影 响 的 动 力 学 特 性 ． 在 参 数 固 定 的 情 况
ｗａ ｎ ｇ ｇ ｙ ｉ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ． ｒ
２
杭州 电子 科技 大学 学报 （ 自然 科学 版 ）
２ Ｏ １ ７年
（ ａ ） ｘ — Ｙ 截面
２ ０
１ ０ ０ ２０ ０
—
（ ｂ ） 一 ＝ 截面
２０
２Ｏ
｝ ｜
０
－
２ ０ Ｏ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － １ １ － ０ ９
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ６ ０ ９ ７ １ ０ ４ ６ ， ６ １ ２ ８ １ ２ ３ ０ ３ ５ ７ ） ； 浙 江 省 自然 科 学 基 金 重 点 资 助 项 目（ Ｌ Ｚ １ ２ Ｆ ０ １ ０ ０ １ ） 作者 简 介 ： 史传 宝（ １ ９ ９ ０ 一） ， 男， 山东济南 人 ， 硕 士研究生 ， 非线性 电路与智 能信息处理． 通信作 者 ： 王光 义教授 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ
（ ｂ ） 、 （ ｃ ） 所示 ， 图１ （ ｄ ） 为 系统 随时 间变 化 的 时序 图 ， 可 以看 出产 生 的 序列 具 有 无周 期 性 ， 说 明此 时 系统
处 于混 沌状 态．
２ 参 数对 系统 特 性 的影 响
２ ． １ 平衡 点分 析
在参数 ｎ 一１ ． ０ ， ｂ ＝ ＝ ＝ ５ ． ０时， 令 系统 （ １ ） 的右边 等于 ０ ， 可得系统平 衡点 一 （ 一 ， ， １ ） ， ｓ ｚ 一
系统 ， 可 作 为 随 机 信 号 源 应 用 于信 息加 密 和保 密 通 信 领 域 ．
关键词 ： 三维混沌系统 ； 动力学地 图； 共 存 吸 引 子
中图分类号 ： Ｔ Ｎ４ ０ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号： １ ０ ０ １ — ９ １ ４ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ ０ ０ １ — ０ ５
下， 分析初值变化的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指 数谱 ， 得 到 了多 种 共 存 吸 引子 ． 通 过 设 计 模 拟 电 路 实 现 了该 系 统 ， 实验 结果 与仿 真 结 果 一 致 ． 对 系 统 混 沌 二 值 序 列 进 行 了 ＮＩ Ｓ Ｔ伪 随机性测 试 ， 随机性 优 于 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ
： 一
：
一
±
Ｌ Ｏ ±２ √５
０ Ｊ
其 特 征 值 均 为 ， ＝３ ． ３ ０ ８ ９ ， 一 一０ ． Ｏ ｌ ５ ４ ＋１ ． ７ ３ １ ５ ｉ ， 一一０ ． ０ １ ５ ４ —１ ． ７ ３ １ ５ ｉ ， 则平 衡 点 Ｓ １ 与ｓ 为 不
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｄｉ ａ ｎ ｚ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
Ｖｏ Ｉ ＿ ３７ Ｎｏ ．４
０ 引 言
Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统是 首个 被发 现 的混沌 系统模 型 ， 继Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统 之后 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 、 Ｌ ｎ系统 等相 继被 提
出， 这些 系统 与 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系 统相 比均 有不 同 的拓扑 结构 ． 近年 来 ， 各 种新 混 沌 系统 不 断被 发 现 ， 如 多翼 混
沌 系统 引、 超混 沌 系统 、 具有 恒定 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 的混 沌 系 统 引、 级 联混 沌 系 统嘲等 ． 研 究 发现 ， 许 多
系统 具有 多稳 定性 ， 而 一些 具有对 称 性 的系统 在更 大 的参 数 空 间上 存 在 对称 的共存 吸引 子［ ７ ＿ ９ ］ ． 具 有 共 存 吸引 子 的混沌 系统在 信息 加密 和保 密通 信等 领域 具有 较 好 的应 用 价值 ． 本 文 提 出 了一 个新 的三维 连 续混 沌 系统 ， 不仅 具有 一般 混沌 系统 的特性 ， 其 创新 点在 于具 有共 存 吸引子 ， 即在参 数确 定 的情况下 ， 不
２ ０
４ ０
６ Ｏ
８ Ｏ
ｌ ０Ｏ
（ ｃ ） Ｙ 一 ห้องสมุดไป่ตู้ 截 面
时 间／ ｍｓ （ ｄ ） 时 序图
图 １ 混 沌 吸 引子 图
（ ， 一 ， １ ） 一（ ０ ， ， ０ ） ， Ｓ 一（ ０ ， 一 ， ０ ） ． 在平 衡点 Ｓ 与 Ｓ ！ 处线性 化 可得 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 矩阵 为 ：
新 系统 动力学 方 程描述 为 ：
ｆ 一 口 （ ＋ ｚ ）
＜ ｙ— ｚ ２ ＋ｙ ｚ （ １ ）
ｌ 乏 一 ｂ 一 ３ ， ｚ
当参数 口 一１ ． ０ ， ６ —５ ． ０ ， 初值 为 （ ０ ． ０ １ ， 一０ ． ０ １ ， 一１ ． ０ ０ ） 时， 系统 具有 双涡卷 混沌 吸引 子 ， 如图 １ （ ａ ） 、
同的初始 值诱 发 系统进 入不 同的轨道 最终 形成 不 同的吸 引子 ［ ｇ ］ ． 设计 了新 系统 的实 现 电路 ， 得 到了一 种
混 沌吸 引子 ． 新 系统 的混沌 序列 具有 良好 的伪 随机性 ， 可 作 为密钥 序列设 计效 果更 好 的加密算 法．
１ 新 的 三维 连 续 混 沌 系统
Ｊ ｕ １ ．２ ０ １ ７
一
个 新 的混沌 系统及 其共存 吸 引子 的研 究
史传 宝 ， 王光 义 ， 臧 寿 池
（ 杭 州 电子 科 技 大 学 电 子 信 息 学 院 ， 浙江 杭州 ３ １ ０ ０ １ ８ ）
摘要： 为进 一步研究混 沌系统特性 ， 提 出 了一 个 具 有 多 稳 定 性 的 三 维 连 续 混 沌 系 统． 通过平 衡点 、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 、 分 岔 图和 动 力 学 地 图 分 析 了 系 统 受 参 数 影 响 的 动 力 学 特 性 ． 在 参 数 固 定 的 情 况
ｗａ ｎ ｇ ｇ ｙ ｉ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ． ｒ
２
杭州 电子 科技 大学 学报 （ 自然 科学 版 ）
２ Ｏ １ ７年
（ ａ ） ｘ — Ｙ 截面
２ ０
１ ０ ０ ２０ ０
—
（ ｂ ） 一 ＝ 截面
２０
２Ｏ
｝ ｜
０
－
２ ０ Ｏ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － １ １ － ０ ９
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ６ ０ ９ ７ １ ０ ４ ６ ， ６ １ ２ ８ １ ２ ３ ０ ３ ５ ７ ） ； 浙 江 省 自然 科 学 基 金 重 点 资 助 项 目（ Ｌ Ｚ １ ２ Ｆ ０ １ ０ ０ １ ） 作者 简 介 ： 史传 宝（ １ ９ ９ ０ 一） ， 男， 山东济南 人 ， 硕 士研究生 ， 非线性 电路与智 能信息处理． 通信作 者 ： 王光 义教授 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ
（ ｂ ） 、 （ ｃ ） 所示 ， 图１ （ ｄ ） 为 系统 随时 间变 化 的 时序 图 ， 可 以看 出产 生 的 序列 具 有 无周 期 性 ， 说 明此 时 系统
处 于混 沌状 态．
２ 参 数对 系统 特 性 的影 响
２ ． １ 平衡 点分 析
在参数 ｎ 一１ ． ０ ， ｂ ＝ ＝ ＝ ５ ． ０时， 令 系统 （ １ ） 的右边 等于 ０ ， 可得系统平 衡点 一 （ 一 ， ， １ ） ， ｓ ｚ 一
系统 ， 可 作 为 随 机 信 号 源 应 用 于信 息加 密 和保 密 通 信 领 域 ．
关键词 ： 三维混沌系统 ； 动力学地 图； 共 存 吸 引 子
中图分类号 ： Ｔ Ｎ４ ０ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号： １ ０ ０ １ — ９ １ ４ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ ０ ０ １ — ０ ５
下， 分析初值变化的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指 数谱 ， 得 到 了多 种 共 存 吸 引子 ． 通 过 设 计 模 拟 电 路 实 现 了该 系 统 ， 实验 结果 与仿 真 结 果 一 致 ． 对 系 统 混 沌 二 值 序 列 进 行 了 ＮＩ Ｓ Ｔ伪 随机性测 试 ， 随机性 优 于 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ
： 一
：
一
±
Ｌ Ｏ ±２ √５
０ Ｊ
其 特 征 值 均 为 ， ＝３ ． ３ ０ ８ ９ ， 一 一０ ． Ｏ ｌ ５ ４ ＋１ ． ７ ３ １ ５ ｉ ， 一一０ ． ０ １ ５ ４ —１ ． ７ ３ １ ５ ｉ ， 则平 衡 点 Ｓ １ 与ｓ 为 不