2019中考数学压轴题

2019中考数学压轴题

52．（2017内蒙古赤峰市，第21题，10分）如图，一次函数313y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边△ABC ．

（1）若点C 在反比例函数k y x =的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）点P （23，m ）在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当△PAD 与△OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．

【答案】（1）3y x =；（2）P （231）在反比例函数图象上．

【分析】（1）由直线解析式可求得A 、B 坐标，在Rt △AOB 中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB 的长，从而可求得CA ⊥OA ，则可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；

（2）分△PAD ∽△ABO 和△PAD ∽△BAO 两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m 的值，可求得P 点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可． 【解析】（1）在

313y x =-+中，令y=0可解得3，令x=0可得y=1，∴A 30），B （0，1），∴

tan ∠BAO=33OB OA

==，∴∠BAO=30°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt △BOA 中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C 3，2），∵点C 在反比例函数

k y x =的图象上，∴k=2333

y x =； （2）∵P （23m ）在第一象限，∴AD=OD ﹣OA=2333，PD=m ，当△ADP ∽△AOB 时，则有

PD AD OB OA =，即313m =m=1，此时P 点坐标为（231）；

当△PDA∽△AOB时，则有PD AD

OA OB

=

，即

3

1

3

m

=

，解得m=3，此时P点坐标为（23，3）；

把P（23，3）代入

23

y

x

=

可得3≠

23

23，∴P（23，3）不在反比例函数图象上，把P（23，1）

代入反比例函数解析式得1=23

23，∴P（23，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（23，1）．

点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：反比例函数综合题；分类讨论；综合题．

53．（2017内蒙古赤峰市，第26题，14分）如图，二次函数

2

y ax bx c

=++（a≠0）的图象交x轴于

A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为22？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】（1）

223

y x x

=-++，y=﹣x+3；（2）

9

4；（3）Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

【解析】（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B （3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，

即

223

y x x

=-++，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式

为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；

（2）设P 点横坐标为m （m ＞0），则P （m ，﹣m+3），M （m ，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）

=﹣m2+3m=239()24m --+，∴当m=32时，PM 有最大值94；

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P 点坐标表示出PM 的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．

54．（2017内蒙古通辽市，第26题，12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

22++=bx ax y 过点A （﹣2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线

22++=bx ax y 的函数表达式； （2）若点D 在抛物线

22++=bx ax y 的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值； （3）在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点

P 的坐标，若不存在，请说明理由．