均值不等式.ppt

ab
概念
a+b 2
算数平均数． 几何平均数
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ab
如果a、b是正数，那么 a b 2 （当且仅当a=b是取等号）
ab
思考1：课本P71-A1 思考2：正数改为非负数呢？ 思考3：这个公式可否进行推广？
定理也可叙述为:两 个正数的算术平均 数不小于他们的几 何平均数。
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得出结论：
a²+b² ≥2ab(a,b∈R)
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思考：课本P69， 思考与讨论。
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常见 变形
ab ab , (a 0, b 0) （当且仅当a=b时，取“=”号） 2
a b 2 ab , (a 0, b 0)
2
ab ab, (a 0, b 0) 2
(a b) 2 ab , (a 0, b 0) 4
3.2 均值不等式
ab ab a 0, b 0 2
1
学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。 2.理解几个平均值之间的关系 3.会用均值不等式解决有关比较大小、证明、 求最值和实际问题。 4.重点：基本不等式的推导和应用 5.难点：利用基本不等式证明不等式和 求最值。
2
问题1： 服务员:电子称坏
王大妈:对不对,我会不会 吃亏?让我好好想一 想!……… 哦,这也难不倒我老人 家,凡事多问是我几十年的 经验!现在高二(13.14)班 的同学们正在学习不等式 比较大小,就麻烦这些小子 们吧! 同学们,赶快帮我想一 想,告诉我结果!
ab a 2 ab b ab 作差： 2 2
二定
存在最值
即： x y 4时， x y的最小值为 8.
能够取到最 值的条件 14
三相等
例2：已知2x+3y=2（x>0,y>0)求xy 的最大值。
解： x 0, y 0
即： 6 xy 2 6 xy 1 2
一正
由均值不等式得 2 x Biblioteka Baidu3 y 2 2 x 3 y
了,但有一架臂长 不等的天平.我有 个好办法!
王大妈:我 买这包糖.
称得a(kg)
4
称得a(kg)
称得b(kg)
5
称得a(kg)
服务员: 把两次称得的重 量平均一下肯定是您所买的 糖的重量,绝对不会错的! 即: a b = 糖果真正重量m
2
称得b(kg)
嗯,我真聪明,这样的难题都 难不倒我!
1 xy 6
二定
2x 3 y 当且仅当 时，等号成立。 2 x 3 y 2
1 1 1 x , y 时， xy的最大值为 。 2 3 6
三相等
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如果积xy是定值P，那么x+y≥2 p， 当x=y时，x+y=2 p ,即x+y有最小值.
简言之：(积定和最小)
如果和x+y是定值S，那么xy≤ 当x=y时,xy=
简言之：(和定积最大)
S2 4
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，
，即xy有最大值.
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四、课堂小结： 利用 a b 2 ab求最值时要注意下 (a 0, b 0) 面三条：
（1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值. (积定和最小) 两个正数和为定值，积有最大值. (和定积最大) （3）三相等:求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”，否则会出现错误（取不到等号则说明无最值）
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例1:已知x>0, y>0, xy=16, 求x+y的最小值，
并说明此时x,y的值．
解： x 0, y 0
一正
可以应用均值不 等式的先决条件
由 值 等 得 x y 2 xy 均 不 式
x y 2 16 即： x y 8
xy 16 又当且仅当 时，等号成立。 x y
( a b )2 2
0
ab ab 2
当且仅当a=b时等号成立。
举手之劳，我 们能做的还有 很多，加油！
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啊,书到用时方恨 少!当初没学好数 学,现在受教训啊!
我真后悔高中的 时候没读好书， 吃了亏也不知道！ 还要多谢同学们.
定理
ab 如果a、b是正数，那么 2
（当且仅当a=b是取等号）