固体物理教学课件声子复习与习题
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mn n1 2n n1
i t naq
解
n Ae
i t naq
—— 格波方程
m 2 Ae
Ae
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
2 1 2 | Q ( q ) | 2 q q
如何引入简正坐标？
q
n nq Aq e
q
iq t
i ( q t naq )
令 QFra Baidu bibliotekq ) Nm Aq e
n
1 Nm
inaq Q ( q ) e q
为什么说上面是简正坐标呢（88，89）？
反演对称性: Q(q) Q *
2 n, n'
2 n, n'
R n是格点的平衡位置， μ n是对平衡位置的偏离
U Taylor展开：
1 1 2 u ( R R ) [( μ μ ) ] u(Rn Rn' ) ... n n' n n' 2 n, n' 4 n, n'
1 U U 0 [(μ n μ n' ) ]2 u(R n R n' ) 4 n,n ' 1 [β (μ n μ n' )]2 2 n,n '
2 1 T | Q( q ) | 2 q 2 1 2 U q | Q( q ) | 2 q
能量本征值为：
1 Enq q (nq ) 2 nq 1, 2,3,......
所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子
3.4 一维双原子链
一、推导色散关系
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
1 色散关系： 2 sin aq m 2
从运动方程导出色散关系：
：力常数 a：晶格常数
U Fn m n
1、如何写出U?
2、如何解方程?
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
一、推导U 1、简谐近似 晶体的总势能： U 1 u(r r ) 1 u(R R μ μ ) n n' n n' n n'
u( x, t ) Ae
i (t qx )
尝试解可写为：
2u Y u ( x 2x) 2u( x x) u( x) 2 t x 2 i t qna n Ae (x=na)
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
二、求解运动方程 2、求解色散关系 第n个原子的运动方程：
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
q , q
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
如果Q(q)是简正坐标，那么由书本3.1节结论就有：
1 2 晶体链的动能： T mn 2 n 2 1 晶体链的势能： U n n1 2 n
晶格振动波矢的总数＝晶体的原胞数
晶格振动格波的总数＝晶体的自由度数
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
一、推导U 2、最近邻近似
n-2 n-1 n
1 U [ ( n n ' )]2 2 n,n '
n+1 n+2
a
n-2 n-1
a
n
：力常数
n+1 n+2
U U0 ( n1 n )2 / 2 只考虑最近邻原子间的相互作用：
解得
1 2 sin aq m 2
—— 色散关系
3.3 其他内容
二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系
2
1 sin aq m 2
(q)
—— 色散关系
a
q
a
—— 布里渊区
- 2a - a
0
a
2 a
q
3.3 其他内容
三、推导ρ(q)，为以后的推导埋下伏笔
n
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
二、求解运动方程 1、提出尝试解 U U0 ( n1 n )2 / 2
n
U (n1 n1 2n ) 第n个原子间受到的作用力： Fn n 第n个原子的运动方程： mn n 1 2n n 1
一维：q的分布密度：
Na L q 2 2
注意与电子气模型里面的ρ(k)类比。
四、在简正坐标下得到声子概念
为什么要用简正坐标？ 为了方便！
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
简正坐标下的结果是（P90,91）：
T 1 ( q ) |2 | Q 2 q U
2u Y 2u , 2 2 t x
u u ( x x) u ( x) u '( x) (x 0), x x 2u u '( x x) u '( x) u ( x 2x) 2u ( x x) u ( x) 2 x x x 2
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
3.5 三维晶格振动
略。但是需要清楚： 简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波） 晶格振动格波的总数＝3N＝晶体的自由度数 复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波 晶格振动格波的总数＝[3＋3(s-1)]N=3sN=晶体的自由度数
3.4 一维双原子链
一、推导色散关系
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（1）色散曲线
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
u2 n A iaq e u2 n1 B
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
i t naq
解
n Ae
i t naq
—— 格波方程
m 2 Ae
Ae
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
2 1 2 | Q ( q ) | 2 q q
如何引入简正坐标？
q
n nq Aq e
q
iq t
i ( q t naq )
令 QFra Baidu bibliotekq ) Nm Aq e
n
1 Nm
inaq Q ( q ) e q
为什么说上面是简正坐标呢（88，89）？
反演对称性: Q(q) Q *
2 n, n'
2 n, n'
R n是格点的平衡位置， μ n是对平衡位置的偏离
U Taylor展开：
1 1 2 u ( R R ) [( μ μ ) ] u(Rn Rn' ) ... n n' n n' 2 n, n' 4 n, n'
1 U U 0 [(μ n μ n' ) ]2 u(R n R n' ) 4 n,n ' 1 [β (μ n μ n' )]2 2 n,n '
2 1 T | Q( q ) | 2 q 2 1 2 U q | Q( q ) | 2 q
能量本征值为：
1 Enq q (nq ) 2 nq 1, 2,3,......
所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子
3.4 一维双原子链
一、推导色散关系
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
1 色散关系： 2 sin aq m 2
从运动方程导出色散关系：
：力常数 a：晶格常数
U Fn m n
1、如何写出U?
2、如何解方程?
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
一、推导U 1、简谐近似 晶体的总势能： U 1 u(r r ) 1 u(R R μ μ ) n n' n n' n n'
u( x, t ) Ae
i (t qx )
尝试解可写为：
2u Y u ( x 2x) 2u( x x) u( x) 2 t x 2 i t qna n Ae (x=na)
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
二、求解运动方程 2、求解色散关系 第n个原子的运动方程：
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
q , q
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
如果Q(q)是简正坐标，那么由书本3.1节结论就有：
1 2 晶体链的动能： T mn 2 n 2 1 晶体链的势能： U n n1 2 n
晶格振动波矢的总数＝晶体的原胞数
晶格振动格波的总数＝晶体的自由度数
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
一、推导U 2、最近邻近似
n-2 n-1 n
1 U [ ( n n ' )]2 2 n,n '
n+1 n+2
a
n-2 n-1
a
n
：力常数
n+1 n+2
U U0 ( n1 n )2 / 2 只考虑最近邻原子间的相互作用：
解得
1 2 sin aq m 2
—— 色散关系
3.3 其他内容
二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系
2
1 sin aq m 2
(q)
—— 色散关系
a
q
a
—— 布里渊区
- 2a - a
0
a
2 a
q
3.3 其他内容
三、推导ρ(q)，为以后的推导埋下伏笔
n
3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导
二、求解运动方程 1、提出尝试解 U U0 ( n1 n )2 / 2
n
U (n1 n1 2n ) 第n个原子间受到的作用力： Fn n 第n个原子的运动方程： mn n 1 2n n 1
一维：q的分布密度：
Na L q 2 2
注意与电子气模型里面的ρ(k)类比。
四、在简正坐标下得到声子概念
为什么要用简正坐标？ 为了方便！
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
3.3 其他内容
四、在简正坐标下得到声子概念
简正坐标下的结果是（P90,91）：
T 1 ( q ) |2 | Q 2 q U
2u Y 2u , 2 2 t x
u u ( x x) u ( x) u '( x) (x 0), x x 2u u '( x x) u '( x) u ( x 2x) 2u ( x x) u ( x) 2 x x x 2
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
3.5 三维晶格振动
略。但是需要清楚： 简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波） 晶格振动格波的总数＝3N＝晶体的自由度数 复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波 晶格振动格波的总数＝[3＋3(s-1)]N=3sN=晶体的自由度数
3.4 一维双原子链
一、推导色散关系
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（1）色散曲线
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律
u2 n A iaq e u2 n1 B
3.4 一维双原子链
二、色散关系的相关讨论
（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律