弹性波动力学学习手册

本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。

第一章 仿射正交张量

§1.1 指标记号及两个符号

一、指标记号

1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：e i ，空间内任一点坐标：x i ，今后会遇到的应变张量ij e 、应力张量ij τ 等。

2、求和约定

例：空间内任一点P 的向径可表示为：

3

1122331i i i x x x x ===++∑x e e e e （1）

在（1）式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为：

112233i i x x x x =++=x e e e e （2）

这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i ），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。

需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。

例1：i ji j t n τ=

该例中，同一项中指标j 有重复且只重复一次，所以为哑标。 另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。 该式展开为：

i =1时，11111212313j j t n n n n ττττ==++ i =2时，22121222323j j t n n n n ττττ==++ i =3时，33131232333j j t n n n n ττττ==++

自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。

例1中，由于只有一个自由指标i ，所以实际上它代表有133=个表达式；右端项只有一个哑标j ，所以该项展开后是133=项的和。

例2：112233ii A A A A =++ 例3：1122S S S αα=+

需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希

腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标α）。

针对指标记号的练习题：

练习1：写出jk ij ik A B C = （23个方程，每个方程右端有13个累加项）

练习2：1

2

ij ij W e τ= （03个方程，23个累加项）

二、两个符号

1、Kronecker 符号ij δ

1,0,ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩ 写成阵列的形式即为：()100010001ij δ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ Kronecker 符号的特点： （1） ij ji δδ= (2) i j ij δ=g e e

(3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ= (5) kj ik ij A A δ= (6) ik kj ij δδδ=

例4：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：

()i i i a b ±=±a b e 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符

i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====g g

g a b e e e e 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。

2i j ij i i a a a a a δ===g a a 2、排列符号（置换符号）：

112311230ijk ijk e ijk ijk ⎧⎪

=-⎨⎪⎩

为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时

所以1232313121e e e ===，1323212131e e e ===-，其余21个值为0.

1 2

3

还有：ijk jki kij kji jik ikj e e e e e e ===-=-=-

例5：123231312,132,,,⨯=⨯=⨯=⨯=-L e e e e e e e e e e e e 则有：i j ijk k e ⨯=e e e 例6：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：

()()()i i j j i j i j ijk i j k a b a b e a b ⨯=⨯=⨯=a b e e e e e 则 ()ijk i j k e a b ⨯=a b

针对两个符号的练习题：

练习3：已知ii e θ=，λ和μ为常数，试将此式开展：2ij ij ij e τλθδμ=+

§1.2 坐标变换

旧系：123ox x x ，单位基向量：i e

新系：123ox x x ，单位基向量：i e 坐标变换系数：()cos ,ij i j i j β==g e e e e

新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,i ij j i ji j ββ==e e e e

新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,

i ij j i ji j x x x x ββ==

向量f ，在旧系下的分量i f ，新系下的分量为i f ，其坐标变换规律为： ,

i ij j i ji j f x f f ββ==

向量的解析定义：若有3个量，它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和i f ，当两个坐标系之间的变换系数为ij β时，i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j f x f f ββ==变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。

§1.3 张量的定义

一、张量的定义

1、0阶张量（标量）：03个分量，在旧系下为()123,,x x x ϕ，新系下()123,,x x x ϕ，

当进行坐标变换时满足()()123123,,,,x x x x x x ϕϕ=。