矩阵位移法的基本思路
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本章提要
本章提要
本章讨论结构分析的矩阵位移法。如何 建立局部坐标系和整体坐标系中的单元 刚度矩阵，如何建立整体刚度矩阵，以 及刚架、连续梁的计算。
13.1 概述
矩阵位移法的基本思路： 以结点位移为基本未知量
计算结构的基本环节为： 1）结构的离散化；
2）单元分析； 3）整体分析。
结构的离散化与杆端位移、杆端力的正 负号规定
e
所以 k e T T k e T
对于桁架杆元：
cos2
EA
cos
sin
l cos2
cos sin
cos sin sin2
cos sin sin2
cos2 cos sin
cos2 cos sin
cos sin
sin
cos sin
sin2
kiei
13.3 整体坐标系中的单元刚度阵 ——整体单刚
e
X i cos
Yi
X
j
Y j
sin
0
0
s in cos
0 0
0 0
cos sin
0 Xi e
0
s in cos
Yi Xj Yj
cos
T sin
0
0
s in c os
0 0
0 0
c os sin
0
13.5 等效结点荷载
PE e T T FO e 1）计算单元固端力 FO e
2）转换到结点上去 PE e TT FOe
3）对号入座
13.6 计算步骤
一、连续梁的计算
二、刚架的计算步骤
思考题
何为“先处理法”和“后处理法”？ 矩阵位移法与位移法有何异同？
k
e ji
kiej
k
e jj
13.4 结构的整体刚度矩阵——结构 总刚
K P
1x
12 3
1 y
2 x 2 y
3x
3y
R1x
P
P1 P2 P3
R1 y R2 x R2 y R3 x
R3y
例：
力学解释：没有支承，结构会产生刚体位移不确定， 必须引进支承
汇合起来写成矩阵形式
上式记作： Fe k ee
得到一般杆元的局部单刚
思考题
单元刚度系数的意义？ 单元刚度矩阵的性质？
特殊单元
由梁元 i j 0，Mi M j 0 ，且EI=0，得桁架杆元
EA
Xi Yi Xj
l 0 EA
Yj l
0 0 0
EA l 0 EA l
0
sin
c os
——坐标转换矩阵
Fe TFe 同理有 e Te
因为T T T I 所以 T 为正交矩阵 ，所以 T 1 T T
在 Fe TFe 前乘 T T
T T Fe T T T Fe
有 Fe T T Fe 同理 e T T e
Fe
T
T
Fe
T
T
k
e
e
T T
k
e
T
e
k e
0
0
0
ui
vi
u j
v j
EA l
1
0
1
0
0 0 0 0
1 0 ui
0 1 0
0
0 0
vi
u j
v j
0 0 0 0
连梁元（忽略杆轴向变形，同时连续梁支承在刚 性支座上，无横向位移。） i i j j 0
M M
i j
4i 2i
2i 4i
i j
一根杆件一个单元
负号规定
13.2 单元分析
一、 局部坐标系下单元刚度矩阵——局部单刚 在局部坐标系下，单元刚度方程可表示为：
Fe k ee
e
k
——为局部坐标系下单元刚度矩阵
F
e
Biblioteka Baidu
Fi Fj
e
kiie
k
e ji
kije
k
e jj
ij
e
—矩阵
—列向量
一般杆单元
单位杆端位移产生的单元杆端力
本章提要
本章讨论结构分析的矩阵位移法。如何 建立局部坐标系和整体坐标系中的单元 刚度矩阵，如何建立整体刚度矩阵，以 及刚架、连续梁的计算。
13.1 概述
矩阵位移法的基本思路： 以结点位移为基本未知量
计算结构的基本环节为： 1）结构的离散化；
2）单元分析； 3）整体分析。
结构的离散化与杆端位移、杆端力的正 负号规定
e
所以 k e T T k e T
对于桁架杆元：
cos2
EA
cos
sin
l cos2
cos sin
cos sin sin2
cos sin sin2
cos2 cos sin
cos2 cos sin
cos sin
sin
cos sin
sin2
kiei
13.3 整体坐标系中的单元刚度阵 ——整体单刚
e
X i cos
Yi
X
j
Y j
sin
0
0
s in cos
0 0
0 0
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0
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Yi Xj Yj
cos
T sin
0
0
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0 0
0 0
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0
13.5 等效结点荷载
PE e T T FO e 1）计算单元固端力 FO e
2）转换到结点上去 PE e TT FOe
3）对号入座
13.6 计算步骤
一、连续梁的计算
二、刚架的计算步骤
思考题
何为“先处理法”和“后处理法”？ 矩阵位移法与位移法有何异同？
k
e ji
kiej
k
e jj
13.4 结构的整体刚度矩阵——结构 总刚
K P
1x
12 3
1 y
2 x 2 y
3x
3y
R1x
P
P1 P2 P3
R1 y R2 x R2 y R3 x
R3y
例：
力学解释：没有支承，结构会产生刚体位移不确定， 必须引进支承
汇合起来写成矩阵形式
上式记作： Fe k ee
得到一般杆元的局部单刚
思考题
单元刚度系数的意义？ 单元刚度矩阵的性质？
特殊单元
由梁元 i j 0，Mi M j 0 ，且EI=0，得桁架杆元
EA
Xi Yi Xj
l 0 EA
Yj l
0 0 0
EA l 0 EA l
0
sin
c os
——坐标转换矩阵
Fe TFe 同理有 e Te
因为T T T I 所以 T 为正交矩阵 ，所以 T 1 T T
在 Fe TFe 前乘 T T
T T Fe T T T Fe
有 Fe T T Fe 同理 e T T e
Fe
T
T
Fe
T
T
k
e
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k
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u j
v j
0 0 0 0
连梁元（忽略杆轴向变形，同时连续梁支承在刚 性支座上，无横向位移。） i i j j 0
M M
i j
4i 2i
2i 4i
i j
一根杆件一个单元
负号规定
13.2 单元分析
一、 局部坐标系下单元刚度矩阵——局部单刚 在局部坐标系下，单元刚度方程可表示为：
Fe k ee
e
k
——为局部坐标系下单元刚度矩阵
F
e
Biblioteka Baidu
Fi Fj
e
kiie
k
e ji
kije
k
e jj
ij
e
—矩阵
—列向量
一般杆单元
单位杆端位移产生的单元杆端力