第三讲：随机行走到连续扩散

ˆ k,t e ik x x, t d d x
x,t
因此我们获得一个普通的微分方程
e 2
d
1
ik x
ˆ k , t d d k
ˆ ˆ Dk 2 t
上式的解为
ˆ k,t e Dk t ˆ k,0 e Dk t
px
b b x2

2

7
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由于概率密度函数衰减如当 x 时 x 2 一样。图4显示一个二维、各向同性随机 行走，并根据Cauchy分布选择步间距的例子。我们可以看到大多采用小步长，但 是偶尔会出现相对于总位移来说相当大的突变， 这是与Pearson行走 （如图5所示， 采用相等的时间步长，并且发生标准扩散）不同的地方。
2 2
作傅里叶逆变换得到
R,t
因而在相应的离散问题中当 N ，
4Dt d / 2
eR
2
/ 4 Dt
5
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6
PN R ~
2 r

dR 2 / 2 r 2 N 2
N /d

d /2
（4）
这就是d维时对于一个各向同性随机行走 PN R 的长时间限制。 位置的PDF趋近于 高斯（或正态）分布，其宽度仅仅与个别位移的变化有关。我们的推导说明只要
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html 中 找
到。这个例子说明，可以通过分子动力学在微观尺寸上模拟扩散现象，但是也可 以更简单、更粗糙描述粒子水平上模拟扩散，这就是本次讲座的主题。最简单的 “Monte Carlo” （或概率）扩散模型是随机行走，这里假设粒子遵循一条独立随 机位移的轨迹。我们将证明，经过很长时间后，随机行走粒子集合的平均特性可 由扩散方程很好的描述出来，这个方程描述连续水平下的扩散，并且为下次讲座 的基础（由 Rosales 教授演讲） 。
反常扩散
当CLT的假设不成立，随机行走可能呈现出非常不同的行为。例如，位置的 极限分布可能不是高斯分布，并且宽度的缩放比例，
R N
对于 1 / 2 时是反常的。这一类的第二部分由于处理反常积分的不同例子。 违反由IID位移的CLT的一种方式是通过“肥大——尾巴的”概率分布（有 足够多的概率可以赋给非常多的时间步）使变化是无限的。下面是一个Cauchy 随机变量的PDF，
1
为了引用和讨论有趣的历史， 可见 B. Hughes, Random Walks and Random Environmental, Vol.
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提出一个描述森林中蚊子横行的简单模型。在每一个时间步，一个蚊子移动一个 固定长度为a，角度任意选择。Pearson想要知道经过多个已采取的步骤后蚊子的 分布。
图1 对于不同的N值Pearson随机行走中 PN r 的Rayleigh渐近逼近
这封信由Lord Rayleigh回复，他早在1880年在不同材料中的声波背景下以更 普遍的形式解决了这个问题。 模拟声波通过材料的传播可被认为是对一系列随机 波矢 k （振幅相等但相位随机）的求和：材料中声波波长大致相等，但是它们在 材料中的散射点被改变。 我们希望找到声波经过多个已采取的步骤后的概率密度函数。设 PN R dR 表 对于单位长度的步骤， Lord Rayleigh 示N步中移动距离在 R 和 R dR 之间的概率。 表示当 N 时，
2
这个影响可由两个诺贝尔奖认可，一个颁给 Einstein 因为他的理论贡献，一个颁给
Perrin 由于他的实验验证。 3
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图 2：源释放出来的 2000 个独立的 Pearson 随机游走粒子的位置， 长度 a=0.01、N=2000 步
r 2 存在对于任何PDF由能有相同的渐近线。
对于一个各向同性随机行走，我们可以很容易的计算出距离原点位移R的
PDF，根据下式 PN R Ad R d 1 PN R
其中 Ad 为d维时单位球体的表面积 （ A1 1 ，A2 2 ，A3 4 等） 。 对于Pearson 问题，由 r 2 a 2 和 d 2 ，所以方程（4）给出一个渐近线的结果：
Rayleigh解（1）。在以后的讲座中，我们会更了解这个近似，但是现在我们仅仅 4
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提供简单的参数。当 N 时，由于长度尺寸比通常的 r 大得多所以 PN r 发生 变化，因此积分中我应用泰勒展开式，得到
1 PN 1 R pr PN R r PN R r PN r ...... d d r 2 2 PN 1 PN R 0 ri r j ...... Ri R j 2 i j
3
大约在同一时间，随机行走理论也由Louis Bachelier在他真正非凡的博士论 文——1900年出版的La Théorie de la Spéculation中发展起来。Bachelier提出随机 行走是金融时间序列的基本模型（如股票标记），几十年后这个想法变为现代金 融理论的基础。他似乎也是第一个发现离散随机行走与连续扩散（或导热）方程 之间的关系，这也是这节课的主题，并在题目中提及。 令人好奇的是，同一年作为Pearson的回信，Albert Einstein也发表了一篇关 于布朗运动的开创性论文， 在这里他以一个与气体分子碰撞为驱动力的随机行走 粒子进行模拟。Einstein看起来不知道Rayleigh和Bachelier所做的相关工作，并且 他侧重于不同的问题： 根据粘性和气体温度计算扩散系数。 1906年， Smoluchowski 也独立的发表了相似的理论。布朗运动的随机行走理论有一个巨大的影响 2 ，是 因为它是离散粒子（“原子”）存在的强有力的证据，当时科学家们仍然认为物 质是连续的。 随机行走的历史渊源表明，它的概念就有异常广泛的适用性，并且一个世纪 后的今天，在科学和工程中几乎无处不在。
http://www.ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-366Spring-2005/CourseHome /index.htm
标准扩散
正如我们简单的推导表明， 在大量时间步后随机行走的统计特性趋向于普通 分布。在最终位置的PDF情形下，对于各向同性随机行走，我们的结果是应用中 心极限定理（CLT）对所有独立的、分布相等的随机变量求和的多维概括。只要 对于随机位移存在有限二次瞬时 r 2 ，那么可由方程（4），或者更普遍的由连
Pearson 随机行走仿真
课程中将进行一个平面内10,000个粒子正经历Pearson随机行走的演示 （rr） 。 该演示表明径向分布随时间的变化，以及径向距离差异随时间变化的缩放比例 （对数——对数图）用来测试“平方根”依赖性（ x t ）——在前面分子扩展 讲座中讨论过。 相似仿真的结果（由Chris Rycroft完成）如图3所示，表明当描述行走粒子的 长时间分布时——大约超过100步，Lord Rayleigh的结果是相当精确的。令人印 象深刻的是，随机行走粒子的复杂集合如何趋近于一个简单、平滑的分布，至少 在中心区域是这样的。
PN R ~
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2R R2 / N e N
（1）
对于几个不同的N值，这个函数如图1所示。我们看到预计的传播距离与步数的 平方根成比例，即 R 2 ~ N ，这是典型的“扩散”现象。
Ⅰ, Sec. 2.1 (Oxford, 1995)。
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图 4 基于 Cauchy 分布的随机行走两千步
图 5 Pearson 随机行走两千步
续扩散方程的解，推导出 PN R 渐近线的形式。 注意，PDF宽度的“平方根缩放比例”增长形式如下：
R r2 N
这是由“标准扩散”造成的传播特性。更平常的是，我们将看到由下式给出的位 置变化 Var R N NVar r 对于独立的、分布相等随机位移成立。
PN 1 R p r PN R r d d r
密度频率
（2）
一维时 d 1 ，这是Bachelier方程。关键假设是时间步的独立性，其允许在第N步 从 R r 到 r 的转变概率可以分为被积函数中的两项。 从方程（2）开始，我们正式采取连续极限从而迅速求出Pearson问题的
第三讲：随机行走到连续扩散
Martin Z. Bazant Department of Mathematics, MIT 2006 年 2 月 13 日
概述
在前面的讲座中（由Yip教授演讲），我们已经讨论过单个粒子如何复杂的 移动，在液体或气体中粒子的可视随机运动被称为“扩散”。 在空气尘埃粒子 的所谓布朗运动中观察到同样由于碰撞的产生宏观尺寸上的无序运动。 本讲座中 展示这个现象的模拟（java程序），并可以在
PN R 0
r r
2
2 PN R ......
我们假设时间步长为 t ，并且定义时间为 t Nt ，得到
当 N ，极限分布 R, t 的定义为 PN R R, t ,满足
D 2 t
（3）
其中 D r 2 / 2dt ——扩散函数。由于行走粒子开始于原点，有一个初始条件， 为 R , t R 。 在讲座中，我们简要引用一个扩散方程的精确解（下面），但是在讲义中我 们大略描述推导过程（需要更多先进的观念）。我们应用傅里叶转换，这组定义 为：
图 3：与初始位置之间距离 RN（图 2 中 所示）的规格化柱形图，与方程（1）中 Rayleigh 渐近结果对比
随机行走到连续扩散
我们现在简单推导出Lord Rayleigh结果的一般形式。（上课时推导 d 1 维 的情况，但是那些讲义中考虑更一般的情形 d 1 。）分析得益于采取长时间统 计的“连续极限”，将产生一个经典的偏微分扩散方程。 考虑一个随机行走粒子，最初开始于 d 维空间的原点。每一步，粒子移动量 为 X N ，这个量由概率分布 p N r 决定。在推导过程中，认为这些步为独立、相 等的分布（IID），所以 p N r pr 。还有我们假定这些步同方向性，所以 p r 仅仅是径向距离 r r 的函数。这种条件通常也消除漂移，则 X N 0 。 让 X N 表示N步后粒子的位置，PN R 为联合概率密度函数 （PDF） 。 对于IID 位移，我们有以下PDF的递归式：
历史
1827年Robert Brown第一次在显微镜下观察到花粉颗粒在水中、似乎一直持 续的无序运动。直到1877年Desaulx假定“布朗运动”的由流体分子的热碰撞引 起的运动。当然，不能应用分子动力学仿真去测试这些假设，但是一个基于随机 行走概念的数学理论即将出现。 “随即行走”最初由Karl Pearson在1905年提出 1 。在给Nature的一封信中，
R / a N PN R ~ a 2 N
PN R ~ 2R 2 R2 / a2 N a2N
2
2
当 a 1 时，这个结果与方程（1）的Lord Rayleigh解吻合。
更多普通情形
这个简短的部分补充说明更多扩散随机行走的普通情况。为了进一步理解 （更先进的水平上），可阅读18.366关于随机行走和扩散的在线讲义：