命题的四种形式

数．真命题．
第一章
1.3
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逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是 实数．真命题． (2)逆命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 有实根，则 q≤1，为真 命题． 否命题：若 q>1，则方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，真命题． 逆否命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，则 q>1，真命题.
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数．(真命题)
[ 方法总结 ] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概 念，要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条 件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论．
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有下列四个命题： (1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题； (2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题； (3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( A．0 ) B．1
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写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真 假： (1)实数的平方是非负数； (2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根． [解析] (1)逆命题：如果一个数的平方是非负数，则这个 数是实数．真命题． 否 命 题 ：如 果 一 个数 不 是 实数 ， 则 它的 平 方 不是 非 负
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行； 否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交； 逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行． (2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
逆命题：若两个三角形相似，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似； 逆否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形不全 等．
C．2
D．3
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[答案] B [解析] (1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题． (2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为a<b，但 a2＝1，b2＝0，a2>b2，故是假命题． (3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得 －2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题． (4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.
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2．四种命题真假的关系 一般地，四种命题真假有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 真 假 真 真 假 真 真 真 假
假
假
假
假
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在商品大战中，广告成了一道美 丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 悉这样的命题变换艺术：“拥有的人 们都幸福，幸福的人们都拥有”．初 听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句 话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭不 希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样巧妙的命题 变换达到了目的.
命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( A．0个 C．2个 [答案] B [ 解析 ] 本题考查四种命题以及真假性间的关系．依题 意，注意到题中的命题本身是真命题，其逆命题是假命题，因 此其逆否命题是真命题，其否命题也是假命题，选B. B．1个 D．3个 )
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(2)全等三角形相似；
(3)菱形的对角线互相垂直平分． [解题提示] 先找出原命题的条件 p和结论q，再将原命题 改写成“若p，则q”的形式，然后根据命题的四种形式的定义 表达其他形式的命题．
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[解析] (1)原命题：若l1与l2是平行直线，则l1与l2不相交；
进行推理和判断
答案：1.要分清条件和结论
2．分清条件 p 和结论 q 证充分性 p⇒q 证必要性 q⇒p 结论 p⇔q
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一
四种命题的概念
一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用¬ p和 ¬ q 分别表示 p 和 q 的否定， 则一共可构成四种不同形式的命题． 1．原命题：若 p，则 q； 2．逆命题：条件和结论“换位”，若 q，则 p； 3．否命题：条件和结论“换质”(分别否定)，若¬ p，则¬ q； 4．逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，若¬ q，则 ¬ p.
无实根．(假命题)
命题的否定：若 m >0 ，则关于 x 的方程 x 2 ＋ x － m ＝ 0 无实 根．(假命题)
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(2) 否命题：若 x 、 y 不都是奇数，则 x ＋ y 不是奇数． ( 假命
题) 命题的否定： ∃ x 、 y 满足 x 、 y 都是奇数，但 x ＋ y 不是奇
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(3) 原命题：若四边形 ABCD 是菱形，则对角线 AC 、 BD互 相垂直平分； 逆命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分， 则四边形ABCD是菱形；
否命题：若四边形是ABCD不是菱形，则对角线AC、BD不
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否命题与命题否定形式的区别
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并
判断真假． (1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根； (2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数． [解析] (1) 否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0
命题的真假．也可以借助集合间的包含关系，判断原命题的真 假，进而判断它的逆否命题的真假．
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[解析] 解法一：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集非空，所以 Δ ＝ (2a ＋ 1)2 － 4(a2 ＋ 7 2)≥0，即 4a－7≥0.解得 a≥4. 7 因为 a≥4>1，所以原命题为真． 又因为原命题与逆否命题等价，所以逆否命题为真．
[答案] D
[解析] 本题考查命题的四种形式，一般的命题：“若p则 q”形式的逆否命题为“若非q则非p”．
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二 四种命题的关系
1 ．一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题之间的 相互关系为：
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对四种命题的理解应注意以下两点．
(1)原命题是人为规定的，其他三种命题是随之产生的，例
如：原命题：若¬p，则¬q; 逆命题：若¬q，则¬p；
否命题：若p，则q；
逆否命题：若q，则p. (2)要注意区分否命题与命题的否定．否命题是既否定命题 中的条件 ，又否定命题中的结论；而命题的否定只否定结 论．“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相 等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否定题 是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等”．
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四种命题关系的应用
判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式
x 2 ＋(2a＋1) x ＋a2 ＋2≤0 的解集非空，则 a ≥ 1”的逆否命题的真 假．
[解题提示]
可以通过判断原命题的真假来判断它的逆否
∴原命题为真，∴原命题的逆否命题也为真．
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课堂典例探究
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四种命题的关系 将下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出 它们的逆命题，否命题和逆否命题． (1)两条平行直线不相交；
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规律：判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真
假，只需要判断两个命题的真假，因为原命题与其逆否命题互
为逆否命题，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为 逆否命题的两个命题具有相同的真假性．
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命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否
互相垂直平分； 逆否命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD不互相垂直平
分，则四边形ABCD不是菱形．
[方法总结] 解此类题的难点在于有的命题是由三部分组 成的，既有前提、条件、结论，正确地区分命题的前提、条件 是解决问题的关键．
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第2课时 命题的四种形式
第一章
1.3
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1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
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1-2
课前自主预习
第一章
1.3
第2课时
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成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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1-2
第一章
常用逻辑用语
第一章
常用逻辑用语
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1-2
第一章
1.3 充分条件、必要条件 与命题的四种形式
第一章 1.3 第2课时
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1-2
命题“ a 、 b 都是偶数 ，则 a ＋ b 是偶数”的逆否命题是
(
)
A．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数 B．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数 C．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数 D．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数
第一章 1.3 第2课时
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判断命题“若m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命
题的真假． [解析] ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0， ∴x2＋2x－3m＝0的根的判别式Δ＝12m＋4>0， ∴方程x2＋2x－3m＝0有实数根
第一章 1.3 第2课时
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1. 处 理 充 分 条 件 、 必 要 条 件 问 题 时 ， 首 先 __________________，然后__________________． 2．证明“充要条件”的一般步骤： → → →
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三 四种命题及其关系的应用
原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题和否命题也是互 为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系． 应用一：逆否命题真假可以通过判断原命题的真假得出， 否命题的真假可以通过判断逆命题的真假得出，因此，要判断 四种命题的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可． 应用二：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所 以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它 的逆否命题为真命题，来间接证明原命同为真命题．