第6章 图像编码与压缩
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k s k k 0
L 1
信源熵
H ( u) P(a j )logP(a j ) 2.14
j 1
J
编码效率
H (u ) 2.14 0.973 2 .2 B
第6章 图像编码与压缩
第17页
树的形式：
根节点
叶子节点 第6章 图像编码与压缩 第18页
6.3.3 费诺-仙农编码
第8页
第6章 图像编码与压缩
6.3 统计编码方法
建立在图像统计特性基础上的压缩编码方法
第6章 图像编码与压缩
第9页
6.3.1 图像冗余度和编码效率
数据冗余的概念 – 数据是信息的载体
»同量的数据可表达不同量的信息 »同量的信息可用不同量的数据表达
– 冗余
»数据表达了无用的信息 »数据表达了已表达的信息
第19页
输入概率 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.4 0.3 0.1 0 0.1 0.06 1 0.04 1 0111 0 1 0 0110 1 0101 1 0 0 1 00 0100
第6章 图像编码与压缩
第20页
6.3.4 算术编码
由于计算机硬件限制使得编码只能按位进行，在一些 情况下，实际编码效果达不到理论压缩比。 算术编码基本思想
（4）初始子区为[0.2 0.4），编码过程 序号 子区左端 子区长度 范围
a1
a2 a3
0.2
0.2+0.4*0.2=0.28 0.28+0*0.2=0.28
0.2
0.08 0.016
[0.2, 0.4)
[0.28, 0.36) [0.28, 0.296)
a2
a4
0.28+0.4*0.016=0.2864
–将要压缩的数据映射到[0,1)实数区间中的某一区段，构造 出小于1且大于等于0的数值。
第6章 图像编码与压缩
第21页
例：对符号序列a1a2a3a2a4进行算术编码
1）各符号出现的概率 字符 概率 a3 0.2 a1 0.2 a2 0.4 a4 0.2
0.2 0.4
a3 a1
范围 [0.0,0.2) [0.2,0.4) [0.4,0.8) [0.8,1.0)
•行程编码原理
用一个符号值代替具有相同值的连续符号，使符号长度少于原 始数据的长度。
•编码举例
对一个字符串aaabbbbccccdddedddaa进行行程编
码。 3a4b4c3d1e3d2a
第6章 图像编码与压缩 第24页
二维行程编码
二维行程编码要解决的核心问题是: 将二维排列的像素，采用某种方式转化成一维 排列的方式。之后按照一维行程编码方式进行编码。
2 2 M 1 N 1 ˆ PSNR 10 lg f max f ( x, y ) f ( x, y ) x 0 y 0 f max max{f ( x, y )}
第6章 图像编码与压缩
第7页
2. 主观保真度准则
观察者对图像综合评价的平均 电视图像质量评价尺度
输出端恢复的输出信号
量化器对eN进行量化得到eN'
第6章 图像编码与压缩 第29页
6.5 正交变换编码
6.5.1 变换编码（Transform Coding）原理
输入图象 构造子图象 正变换 量化 符号编码 压缩图象
压缩图象
符号解码
反变换
合并子图象
解压图象
图像分解：减少变换的计算复杂度 图像变换：解除每个子图像内部像素之间的相关性，或者说 将尽可能多的信息集中到尽可能少的变换系数上 压缩不是在变换中而是在量化变换系数时及编码取得的
理论上，最佳信息保持编码的平均长度与信源的熵H无限接近。
第6章 图像编码与压缩
第12页
冗余度定义为：
B r 1 H
编码效率：
H 1 1 r B
编码效率接近于1的编码称为高效编码。
第6章 图像编码与压缩 第13页
6.3.2
霍夫曼编码
设有编码输入X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}， 其频率分布分别为
评分 1 2 3 4 5 6 评价 优秀 良好 可用 刚可看 差 不能用 说 明
图象质量非常好，如同人能想象出的最好质量。 图象质量高，观看舒服，有干扰但不影响观看。 图象质量可接受，有干扰但不太影响观看。 图象质量差，干扰有些妨碍观看，观察者希望改进。 图象质量很差，妨碍观看的干扰始终存在，几乎无法观看。 图象质量极差，不能使用。
第26页
二、线性预测（DPCM差分脉冲编码调制 ）
Differential Pulse Code Modulation
像素点的实际灰度值：
xN
像素点的预测灰度值：
预测误差：
x N
eN xN - x N
第6章 图像编码与压缩
第27页
差 分 预 测 编 码 原 理
输入序列进入系统时，先与预测值相减，得到预测误差值，经 过量化器量化成数字序列，经信道传送。并且将误差作为预测 器的下一次输入。 第6章 图像编码与压缩 第28页
第6章 图像编码与压缩
第10页
信源信息熵
H ( x) pi log2 pi
i 0
L 1
各灰度像素出现的概率与该概率的对数的乘积再求和。 灰度范围[0，L-1]
第6章 图像编码与压缩 第11页
•平均码长 B
B i pi
i 0
i 为数字图像中灰度级为i对应的码长。
L 1
第2页
图像压缩方法的分类 ： 无损压缩： 在压缩和解压缩过程中没有信息损失； 有损压缩： 图像压缩后并不能经解压缩精确复原。
第6章 图像编码与压缩
第3页
霍夫曼编码
无损压缩
算术编码 行程编码
图像压缩技术 预测编码
有损压缩
变换编码 其他编码
第6章 图像编码与压缩
第4页
6.2 图像保真度准则
图像保真度
M 1 N 1 1 ˆ ( x, y) f ( x, y) 2 erms f MN x 0 y 0
ˆ ( x , y )2 f
12
均方根信噪比
M 1 N 1
SNRms
x 0 y 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M 1 N 1 x 0 y 0
eN xN - x N
xN xN x N eN xN xN eN eN
x N 为根据tN时刻以前已知的像素亮度取样值X1，X2，…，XN-1
对XN所作的预测值；
x N eN xN
e N 为差值信号，也称误差信号；
x N
第6章 图像编码与压缩
6.1 概述
动机/原因：表达数字图像所需数据量通常很大。 图像编码压缩： 采用对图像的新的表达方法以减小所需的数据量。 数据和信息：数据是信息的载体 对给定量的信息可用不同的数据量来表示 对给定量的信息，设法减少表达这些信息的数 据量称为数据压缩。
第6章 图像编码与压缩
霍夫曼编码需要多次排列，当元素个数很多时十分不便。
费诺-仙农编码主要步骤为： (1) 将元素依其概率从大到小排列；
(2) 将元素分成概率和接近的两部分；
(3) 分别给两部分的元素组合赋值，概率大的赋0，反之赋1； (4) 如果两部分均只有一个元素，编码结束，否则返回(2)继 续进行。
第6章 图像编码与压缩
(a)
(b)
第6章 图像编码与压缩
第25页
6.4 预测编码
预测就是根据过去时刻的样本序列，运用一种模型预测当前 的样本值。 基本思想 – 提取每个像素中的新信息（实际值与预测值的差）并对它
们编码。
238, 240, 240, 241, 242, 245 238,2,0,1,1,3
第6章 图像编码与压缩
第6章 图像编码与压缩 第30页
6.5.2 正交变换的特点
正交变换是线性变换，且变换前后能量不变 (Parseval定理) 熵保持 重新分配能量 去相关性质
第6章 图像编码与压缩
第31页
平稳随机向量X，Y 的协方差矩阵定义为（注意它的 对称性和半正定性）
X [ x1 , x2 ,, xn ]T Y [ y1 , y2 ,, yn ]T
x E[( X X )( X X )T ]
Y AX
y E[(Y Y )(Y Y )T ] E[( AX AX )( AX AX )T ] AE[( X X )( X X )T ] AT A x AT
第6章 图像编码与压缩 第32页
6.5.3 变换压缩的数学分析
T
T I
x y yi iT x y 1 x T x =Ax i 1, 2, ,n
假定我们只保留 y 向量的分量的一个子集 y1, y2 , , ym mn， 就用这些分量估计出 x 。
第6章 图像编码与压缩 第34页
最佳子集的选取 若用y的分量来恢复原始模式x，不应使模式产生明显的 畸变。实际上我们的任务就是要选择一个最佳的变换使 得模式向量的维数降低后仍能保留模式的最重要的特征。 ym 若保留 y1, y2 , ,，不保留的用预先选定的常数来代 替，这时对x的估计值为：
(2) 对每个信源符号赋值：概率大的赋0，概率小的赋1. 从（消减到）最小的信源开始，逐步回到初始信源
大值赋给单 独一个元 素
第6章 图像编码与压缩
第16页
霍夫曼编码结果
平均长度
B
B(s ) p (s ) 0.4 1 0.3 2 0.1 3 0.1 5 2.2
ˆ ( x , y ) f ( x , y ) 2 f
第6章 图像编码与压缩
第6页
（归一化）信噪比：令 单位：分贝（dB）
f
1 MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y )
峰值信噪比
M 1 N 1 2 f ( x, y ) f x 0 y 0 SNR 10 lg M 1 N 1 ˆ ( x, y) f ( x, y) 2 f x 0 y 0
ˆ yii x
i1 n m im1
bii
n
x yii
设 x 是一个 n 维的随机向量，则它可以用下式无误 差的展开：
x yii y =ATy
i1
n
(1 2
y ( y1 y2
11 12 11 22 n ) 11 n 2 yn )T
第33页
1n 2 n
nn
P(x1)=0.4，P(x2)=0.3，P(x3)=0.1， P(x4)=0.1, P(x5)=0.06, P(x6)=0.04
求其霍夫曼编码。
第6章 图像编码与压缩
第14页
霍夫曼编码步骤
(1) 将输入元素按出现概率从大到小排列，然后选2个最小的结 合
第6章 图像编码与压缩
第15页
霍夫曼编码步骤
0.2864+0.8*0.0064=0.2915
0.0064
0.00128 第23页
[0.2864, 0.2928)
[0.2915, 0.2928)
第6章 图像编码与压缩
6.3.5 行程编码简介（Run Length Encoding）
又称“运行长度编码”或“游程编码”，是一种统计编码，该
编码属于无损压缩编码。
2）根据符号发生的概率划分区间[0,1)为4段
0
0.8
a2 a4
1
第6章 图像编码与压缩
第22页
a3 a1
0.2 [0.0,0.2) 0.2 [0.2,0.4)
a2 a4
0.4 0.2
[0.4,0.8) [0.8,1.0)
（3)在编码运算过程中，随着消息符号的出现，子区按下列规则缩小：
规则A：新子区左端＝前子区左端十当前子区左端×前子区长度 规则B：新子区长度＝前子区长度×当前子区的长度
T 1 T 2 A= T m
第6章 图像编码与压缩
1 , 2 ,
n 是线性独立的，其构成了包含 x 的 n维空间，
这些向量就是这个空间的一个基组。进一步它还满足以 下性质：
1, i j i j 0, i j
– 描述解码图像相对于原始图像的偏离程度的测度
主观保真度准则
– 主观测量图像的质量，因人而异。
客观保真度准则
– 原图像与解码图像之间的均方根误差和均方根信噪比。
第6章 图像编码与压缩
第5页
1. 客观保真度准则
ˆ ( x, y ) f ( x, y ) e( x , y ) f
均方根误差
L 1
信源熵
H ( u) P(a j )logP(a j ) 2.14
j 1
J
编码效率
H (u ) 2.14 0.973 2 .2 B
第6章 图像编码与压缩
第17页
树的形式：
根节点
叶子节点 第6章 图像编码与压缩 第18页
6.3.3 费诺-仙农编码
第8页
第6章 图像编码与压缩
6.3 统计编码方法
建立在图像统计特性基础上的压缩编码方法
第6章 图像编码与压缩
第9页
6.3.1 图像冗余度和编码效率
数据冗余的概念 – 数据是信息的载体
»同量的数据可表达不同量的信息 »同量的信息可用不同量的数据表达
– 冗余
»数据表达了无用的信息 »数据表达了已表达的信息
第19页
输入概率 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.4 0.3 0.1 0 0.1 0.06 1 0.04 1 0111 0 1 0 0110 1 0101 1 0 0 1 00 0100
第6章 图像编码与压缩
第20页
6.3.4 算术编码
由于计算机硬件限制使得编码只能按位进行，在一些 情况下，实际编码效果达不到理论压缩比。 算术编码基本思想
（4）初始子区为[0.2 0.4），编码过程 序号 子区左端 子区长度 范围
a1
a2 a3
0.2
0.2+0.4*0.2=0.28 0.28+0*0.2=0.28
0.2
0.08 0.016
[0.2, 0.4)
[0.28, 0.36) [0.28, 0.296)
a2
a4
0.28+0.4*0.016=0.2864
–将要压缩的数据映射到[0,1)实数区间中的某一区段，构造 出小于1且大于等于0的数值。
第6章 图像编码与压缩
第21页
例：对符号序列a1a2a3a2a4进行算术编码
1）各符号出现的概率 字符 概率 a3 0.2 a1 0.2 a2 0.4 a4 0.2
0.2 0.4
a3 a1
范围 [0.0,0.2) [0.2,0.4) [0.4,0.8) [0.8,1.0)
•行程编码原理
用一个符号值代替具有相同值的连续符号，使符号长度少于原 始数据的长度。
•编码举例
对一个字符串aaabbbbccccdddedddaa进行行程编
码。 3a4b4c3d1e3d2a
第6章 图像编码与压缩 第24页
二维行程编码
二维行程编码要解决的核心问题是: 将二维排列的像素，采用某种方式转化成一维 排列的方式。之后按照一维行程编码方式进行编码。
2 2 M 1 N 1 ˆ PSNR 10 lg f max f ( x, y ) f ( x, y ) x 0 y 0 f max max{f ( x, y )}
第6章 图像编码与压缩
第7页
2. 主观保真度准则
观察者对图像综合评价的平均 电视图像质量评价尺度
输出端恢复的输出信号
量化器对eN进行量化得到eN'
第6章 图像编码与压缩 第29页
6.5 正交变换编码
6.5.1 变换编码（Transform Coding）原理
输入图象 构造子图象 正变换 量化 符号编码 压缩图象
压缩图象
符号解码
反变换
合并子图象
解压图象
图像分解：减少变换的计算复杂度 图像变换：解除每个子图像内部像素之间的相关性，或者说 将尽可能多的信息集中到尽可能少的变换系数上 压缩不是在变换中而是在量化变换系数时及编码取得的
理论上，最佳信息保持编码的平均长度与信源的熵H无限接近。
第6章 图像编码与压缩
第12页
冗余度定义为：
B r 1 H
编码效率：
H 1 1 r B
编码效率接近于1的编码称为高效编码。
第6章 图像编码与压缩 第13页
6.3.2
霍夫曼编码
设有编码输入X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}， 其频率分布分别为
评分 1 2 3 4 5 6 评价 优秀 良好 可用 刚可看 差 不能用 说 明
图象质量非常好，如同人能想象出的最好质量。 图象质量高，观看舒服，有干扰但不影响观看。 图象质量可接受，有干扰但不太影响观看。 图象质量差，干扰有些妨碍观看，观察者希望改进。 图象质量很差，妨碍观看的干扰始终存在，几乎无法观看。 图象质量极差，不能使用。
第26页
二、线性预测（DPCM差分脉冲编码调制 ）
Differential Pulse Code Modulation
像素点的实际灰度值：
xN
像素点的预测灰度值：
预测误差：
x N
eN xN - x N
第6章 图像编码与压缩
第27页
差 分 预 测 编 码 原 理
输入序列进入系统时，先与预测值相减，得到预测误差值，经 过量化器量化成数字序列，经信道传送。并且将误差作为预测 器的下一次输入。 第6章 图像编码与压缩 第28页
第6章 图像编码与压缩
第10页
信源信息熵
H ( x) pi log2 pi
i 0
L 1
各灰度像素出现的概率与该概率的对数的乘积再求和。 灰度范围[0，L-1]
第6章 图像编码与压缩 第11页
•平均码长 B
B i pi
i 0
i 为数字图像中灰度级为i对应的码长。
L 1
第2页
图像压缩方法的分类 ： 无损压缩： 在压缩和解压缩过程中没有信息损失； 有损压缩： 图像压缩后并不能经解压缩精确复原。
第6章 图像编码与压缩
第3页
霍夫曼编码
无损压缩
算术编码 行程编码
图像压缩技术 预测编码
有损压缩
变换编码 其他编码
第6章 图像编码与压缩
第4页
6.2 图像保真度准则
图像保真度
M 1 N 1 1 ˆ ( x, y) f ( x, y) 2 erms f MN x 0 y 0
ˆ ( x , y )2 f
12
均方根信噪比
M 1 N 1
SNRms
x 0 y 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M 1 N 1 x 0 y 0
eN xN - x N
xN xN x N eN xN xN eN eN
x N 为根据tN时刻以前已知的像素亮度取样值X1，X2，…，XN-1
对XN所作的预测值；
x N eN xN
e N 为差值信号，也称误差信号；
x N
第6章 图像编码与压缩
6.1 概述
动机/原因：表达数字图像所需数据量通常很大。 图像编码压缩： 采用对图像的新的表达方法以减小所需的数据量。 数据和信息：数据是信息的载体 对给定量的信息可用不同的数据量来表示 对给定量的信息，设法减少表达这些信息的数 据量称为数据压缩。
第6章 图像编码与压缩
霍夫曼编码需要多次排列，当元素个数很多时十分不便。
费诺-仙农编码主要步骤为： (1) 将元素依其概率从大到小排列；
(2) 将元素分成概率和接近的两部分；
(3) 分别给两部分的元素组合赋值，概率大的赋0，反之赋1； (4) 如果两部分均只有一个元素，编码结束，否则返回(2)继 续进行。
第6章 图像编码与压缩
(a)
(b)
第6章 图像编码与压缩
第25页
6.4 预测编码
预测就是根据过去时刻的样本序列，运用一种模型预测当前 的样本值。 基本思想 – 提取每个像素中的新信息（实际值与预测值的差）并对它
们编码。
238, 240, 240, 241, 242, 245 238,2,0,1,1,3
第6章 图像编码与压缩
第6章 图像编码与压缩 第30页
6.5.2 正交变换的特点
正交变换是线性变换，且变换前后能量不变 (Parseval定理) 熵保持 重新分配能量 去相关性质
第6章 图像编码与压缩
第31页
平稳随机向量X，Y 的协方差矩阵定义为（注意它的 对称性和半正定性）
X [ x1 , x2 ,, xn ]T Y [ y1 , y2 ,, yn ]T
x E[( X X )( X X )T ]
Y AX
y E[(Y Y )(Y Y )T ] E[( AX AX )( AX AX )T ] AE[( X X )( X X )T ] AT A x AT
第6章 图像编码与压缩 第32页
6.5.3 变换压缩的数学分析
T
T I
x y yi iT x y 1 x T x =Ax i 1, 2, ,n
假定我们只保留 y 向量的分量的一个子集 y1, y2 , , ym mn， 就用这些分量估计出 x 。
第6章 图像编码与压缩 第34页
最佳子集的选取 若用y的分量来恢复原始模式x，不应使模式产生明显的 畸变。实际上我们的任务就是要选择一个最佳的变换使 得模式向量的维数降低后仍能保留模式的最重要的特征。 ym 若保留 y1, y2 , ,，不保留的用预先选定的常数来代 替，这时对x的估计值为：
(2) 对每个信源符号赋值：概率大的赋0，概率小的赋1. 从（消减到）最小的信源开始，逐步回到初始信源
大值赋给单 独一个元 素
第6章 图像编码与压缩
第16页
霍夫曼编码结果
平均长度
B
B(s ) p (s ) 0.4 1 0.3 2 0.1 3 0.1 5 2.2
ˆ ( x , y ) f ( x , y ) 2 f
第6章 图像编码与压缩
第6页
（归一化）信噪比：令 单位：分贝（dB）
f
1 MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y )
峰值信噪比
M 1 N 1 2 f ( x, y ) f x 0 y 0 SNR 10 lg M 1 N 1 ˆ ( x, y) f ( x, y) 2 f x 0 y 0
ˆ yii x
i1 n m im1
bii
n
x yii
设 x 是一个 n 维的随机向量，则它可以用下式无误 差的展开：
x yii y =ATy
i1
n
(1 2
y ( y1 y2
11 12 11 22 n ) 11 n 2 yn )T
第33页
1n 2 n
nn
P(x1)=0.4，P(x2)=0.3，P(x3)=0.1， P(x4)=0.1, P(x5)=0.06, P(x6)=0.04
求其霍夫曼编码。
第6章 图像编码与压缩
第14页
霍夫曼编码步骤
(1) 将输入元素按出现概率从大到小排列，然后选2个最小的结 合
第6章 图像编码与压缩
第15页
霍夫曼编码步骤
0.2864+0.8*0.0064=0.2915
0.0064
0.00128 第23页
[0.2864, 0.2928)
[0.2915, 0.2928)
第6章 图像编码与压缩
6.3.5 行程编码简介（Run Length Encoding）
又称“运行长度编码”或“游程编码”，是一种统计编码，该
编码属于无损压缩编码。
2）根据符号发生的概率划分区间[0,1)为4段
0
0.8
a2 a4
1
第6章 图像编码与压缩
第22页
a3 a1
0.2 [0.0,0.2) 0.2 [0.2,0.4)
a2 a4
0.4 0.2
[0.4,0.8) [0.8,1.0)
（3)在编码运算过程中，随着消息符号的出现，子区按下列规则缩小：
规则A：新子区左端＝前子区左端十当前子区左端×前子区长度 规则B：新子区长度＝前子区长度×当前子区的长度
T 1 T 2 A= T m
第6章 图像编码与压缩
1 , 2 ,
n 是线性独立的，其构成了包含 x 的 n维空间，
这些向量就是这个空间的一个基组。进一步它还满足以 下性质：
1, i j i j 0, i j
– 描述解码图像相对于原始图像的偏离程度的测度
主观保真度准则
– 主观测量图像的质量，因人而异。
客观保真度准则
– 原图像与解码图像之间的均方根误差和均方根信噪比。
第6章 图像编码与压缩
第5页
1. 客观保真度准则
ˆ ( x, y ) f ( x, y ) e( x , y ) f
均方根误差