高考数学题及答案3篇

高考数学题及答案

把下列函数在给定区间内积分:

$f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\cos2x$

$\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$

$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$

$\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$

解题思路：

根据积分的定义，函数在给定区间内的积分就是曲线与坐标轴所围成的面积，因此我们要先将函数的图像在给定区间内画出来，然后再计算面积。具体步骤如下：

1.将函数在给定区间内画出来；

2.将函数分段，把给定区间分成若干个小区间；

3.分别计算每个小区间中曲线与坐标轴所围成的面积；

4.把每个小区间中的面积加起来，就得到了函数在给定区间内的积分。

下面我们具体来看：

1.将函数在给定区间内画出来

先来看一下函数$f(x)$在$[0,2\pi]$内的图像：

图像显示，函数$f(x)$在$0$到$\frac{\pi}{6}$之间为负值，在$\frac{\pi}{6}$到$\frac{\pi}{3}$之间为正值，在$\frac{\pi}{3}$到$\frac{\pi}{2}$之间变为负值。因此，我们要分段计算这三个区间内的积分。

2.将函数分段，把给定区间分成若干个小区间

根据上面的分析，我们把

$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$、$[0,\frac{\pi}{4}]$和$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$三个区间分别计算积分。

3.分别计算每个小区间中曲线与坐标轴所围成的面积

对于$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$这个区间，函数图像如下：

因此，区间$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$内的积分可以通过计算下列式子得到：

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f(x)dx=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}\sin

x+\cos2xdx$$

这个积分可以通过原函数法求解，即求出$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后用$F(\frac{\pi}{3})-

F(\frac{\pi}{6})$减去$F(x)$在区间

$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$中的值，即可得到该区间内的积分。

先来求$f(x)=\frac{1}{2}\sin x$的原函数。由于

$\frac{d}{dx}\cos x=\sin x$，因此$\int\frac{1}{2}\sin xdx=-\frac{1}{2}\cos x+C$。取$C=0$，得到$f(x)$的一个原函数为$F_{1}(x)=-\frac{1}{2}\cos x$。

接下来求$f(x)=\cos2x$的原函数。由于

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$，因此

$\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\int\cos xdx=\frac{1}{2}\sin x+C$。取$C=0$，得到$f(x)$的一个原函数为

$F_{2}(x)=\frac{1}{2}\sin2x$。

综上所述，函数$f(x)$的一个原函数为

$F(x)=F_{1}(x)+F_{2}(x)=-\frac{1}{2}\cos

x+\frac{1}{2}\sin2x$。

因此，在区间$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$内，函数$f(x)$的积分为：

$$\begin{aligned}

\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f(x)dx

&=F(\frac{\pi}{3})-F(\frac{\pi}{6})\\ &=\left(-

\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi }{3}\right)-\left(-

\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi} {3}\right)\\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4} \\

&=\frac{\sqrt{3}+1}{4} \end{aligned}$$

对于$[0,\frac{\pi}{4}]$这个区间，函数图像如下：

因此，区间$[0,\frac{\pi}{4}]$内的积分可以通过计算下列式子得到：

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{ \pi}{4}}\frac{1}{2}\sin x+\cos2xdx$$

同样地，$f(x)$的一个原函数为$F(x)=-

\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin2x$。因此，在区间$[0,\frac{\pi}{4}]$内，函数$f(x)$的积分为：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(x)dx &=F(\frac{\pi}{4})-F(0)\\ &=\left(-

\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi} {2}\right)-\left(-

\frac{1}{2}\cos0+\frac{1}{2}\sin0\right)\\

&=\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{2} \\

&=\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{2}{4} \\

&=\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{2} \end{aligned}$$ 对于$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$这个区间，函数