定积分及其应用

第五章定积分及其应用

一、内容分析与教学建议

（一）定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。

本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。

（二）定积分概念、牛顿–莱不尼兹公式

关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。

定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。

（三）换元积分法、分部积分法

换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。

（四）广义积分

广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。

（五）微元法（定积分应用）

定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。

二、补充例题

例1. 设)(x f 连续，且⎰+=1

0)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .

解： 记⎰

=

1

)(dt t f a ，则a x x f 2)(+=

两端积分得：

⎰⎰

+=

+=1

1

22

1

)2()(a dx a x dx x f a a 221+=

， 2

1-=a 1)(-=∴x x f

例2. 证明不等式⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222

证： ()

0)()(2

≥+x g x f λ

，故[]⎰≥+b

a

dx x g x f 0)()(2

λ

即 0)()()(2)(222

≥++⎰⎰⎰

b

a

b a

b

a

dx x g dx x g x f dx x f λλ

上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，

即 0)()(4)()(4222

≤⋅-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰b

a b a b a dx x g dx x f dx x g x f

得： ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b

a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(2

22

.

例3. 设)(x f 在]10[，连续且递减，证明：当10<<λ时，⎰⎰

≤λ

λ0

1

)()(dx x f dx x f .

证： ⎰⎰⎰

+=1

1

)()()(λ

λdx x f dx x f dx x f

∴

⎰⎰⎰⎰+-=-1

10

)()()1()()(λ

λλλλλdx x f dx x f dx x f dx x f

0)()1()()1(21≤---=ξλλξλλf f

],0[1λξ∈，]1[2，λξ∈，⎰⎰≤∴λ

λ0

10

)()(dx x f dx x f

又证，作 ⎰⎰-=1

)()(1

)(dx x f dx x f F λ

λλ，]10[，

∈λ 则只需证：0)(≥λF

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-='⎰⎰λλξλλλλλλλ0202)()(1)()(1)(f f dx x f f F

[]0)()(1

≤-=ξλλ

f f ， ],0[λξ∈

又0)1(=F ，故当10<<λ，0)(≥λF ⎰⎰≤∴λ

λ0

1

)()(dx x f dx x f

例4．设)(x f 在],0[a 上有一阶连续导数，证明：[]d x x f a x f a

f a

⎰'+≤

0)()(1)0(

证： 由积分中值定理，⎰

=a

a f dx x f 0

)()(ξ即⎰=

a

dx x f a f 0

)(1)(ξ，a ≤≤ξ0

)0()()(0

f f dx x f -='⎰

ξξ

⎰⎰⎰'-='-=ξξξ00

0)()(1)(1)()0(a

dx x f dx x f a dx x f a f f

⎰

⎰

'+≤

ξ

)()(1

)0(dx x f dx x f a

f a

⎰⎰'+≤

a

a dx x f dx x f a

00)()(1 []⎰'+=

a

dx x f a x f a

0)()(1 例 5. 设)(x f 在]1,0[上连续，0)1()0(==f f ，0)(≠x f ，)10(<

4)

()

(1

>''⎰

dx x f x f . 证： 由)(x f 在]1,0[上连续，故有最大值0)(00>=x f y ，)1,0(0≠x ，分别在区间

],0[0x ，]1,[0x 上应用拉格朗日中值定理，有：)(0

)0()(0000ξf x f x f x y '=--=，00x <<ξ

)(1)

()1(10

000ηf x x f f x y '=--=--， 10<<ηx

从而

)()(1

)(1

)(1

)(1)()(0

0100

1

ξη

ξ

η

ξ

f y f y dx x f y dx x f y dx x f y dx x f x f '-'=

''>

''>

''>''⎰⎰⎰⎰

4)

1(1110000000>-=---=

x x x y x y y

例6. 设)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使