7.6 曲线和方程(1)

例如,过点 平行于y轴的直线 例如,过点A(2,0)平行于 轴的直线 (如图)与方程 , 平行于 轴的直线L(如图) |x|=2 之间的关系: 之间的关系: 只具备性质( )即具备纯粹性, 只具备性质(1)即具备纯粹性, 但不具备性质( )即不具备完备性. 但不具备性质(2)即不具备完备性 因此, |x|=2 不是直线 L 的方程, 的方程, 因此, L 也不全是的方程 也不全是的方程|x|=2 的直线, 的直线, 它只是方程|x|=2 所表示的图形 它若命题"曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0 "是正确的, 是正确的, 若命题"曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0 是正确的 f(x 则下列命题中正确的是( 则下列命题中正确的是( D ) (A)方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C (A)方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C 方程f(x (B)坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C (B)坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 (C)方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C (C)方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C 方程f(x (D)曲线C是方程f(x,y)=0 (D)曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部 曲线 f(x
o 1
A
y
L
x
例如, 例如,到两坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y=x 之间的关系: 之间的关系: 只具备性质( )即具备完备性, 只具备性质(2)即具备完备性, 但不具备性质( )即不具纯粹备性. 但不具备性质(1)即不具纯粹备性 因为到两坐标轴距离相等的 点的轨迹有 两条直线L1 和 L2 , 两条直线 直线 L1 上的点的坐标都是方程 但直线 L2 上的点 (除原 y=x 的解, 的解, 点外)的坐标不是方程y=x 的解, 的解, 点外)的坐标不是方程 y=x 只是直线 1的方程,它不是所 只是直线L 的方程, 求轨迹的方程. 求轨迹的方程. L2
x0 + y0 = 25
2 2
2
2
.
M1
x 半径为 5 的圆方程 . 由 (1) ,2) 可知,2 + y 2 = 25 是圆心为坐标原点, (
把点 M1(3 , 4) ,M 2(2 5 ,) 的坐标分别代入方程 x 2 + y 2 = 25 , 2 25 24 25 有 32 + (4)2 = 25 成立 ,(2= 5)2 + 22 = 25 不成立 ,
(3 , 4) 是方程的解 ,2 5 ,) 不是方程的解, ( 2
∴ 点 M1 在这个圆上 , M 2(2 5 ,) 不在这个圆上 . 点 2
例 2 : 条件甲:" 曲线C上的点的坐标都是方程f(x , y)=0 的解", 条件甲: 曲线C 上的点的坐标都是方程f(x, y)=0 的解" f(x y)=0 条 件 乙 : " 曲 线 C 是 方 程 f (x , y)=0 的 图 形 " , 则 甲 是B 的 乙 ( ) (A)充分非必要条件 (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (C)充要条件 分析:由方程的曲线定义知 (B)必要非充分条件 (B)必要非充分条件 (D)非充分也非必要条件 (D)非充分也非必要条件 甲 甲 乙 ,但 乙
y
o
x
一般地,在直角直角坐标系中, 一般地,在直角直角坐标系中,如果某曲线 C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建 上的点与一个二元方程 , 的实数解建 立了如下的关系: 立了如下的关系: 的解; (1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解; ) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 ) 曲线的方程; 的点,那么这个方程叫做曲线的方程 的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲 线叫做方程的曲线 图形) 方程的曲线( 线叫做方程的曲线(图形). 说明: ) 说明: 1)"曲线上的点的坐标都是这个方程 的 ( 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点, 解" ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点, (纯粹性) 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫 纯粹性). 无例外 以这个方程的解为坐标的点都在曲线 (2)" ) 上"阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无 完备性). (完备性) 遗漏 由曲线的方程的定义可知, 由曲线的方程的定义可知, 如果曲线C的方程是 如果曲线 的方程是 f(x,y)=0,那么点 0(x0 ,y0)在曲线 上的 在曲线C , ,那么点P 在曲线 充要条件是 f(x0,y0)=0 .
y
(2) 设 ( x0 , 0 ) 是方程 x 2 + y 2 = 25 的解 ,则 y
y x0 + y0 = 25 即 ( x0 , 0 ) 是方程 x2 + y 2 = 25 的解 ..M
2 2
2
o
x
x0 + y0 = 5 y 即 ( x0 , 0 ) 到原点的距离等于 5 ,点 M ( x0 , 0 ) 是这个圆上的点 . y
7.6 曲线和方程(1) 曲线和方程( )
成都七中 授课人:曹杨可 课件制作:曹杨可
两坐标轴所成的角位于第一, 两坐标轴所成的角位于第一,三象限的平分线 的方程是 x y = 0 . 这就是说: 这就是说:
y
如果点M(x0 ,y0)是这条直线上的任意 如果点 是这条直线上的任意 一点,它到两坐标轴的距离一定相等, 一点,它到两坐标轴的距离一定相等, 即 x0 = y0,那么它的坐标 0 ,y0)就 就 ,那么它的坐标(x 的解; 是方程 x-y=0 的解;
的图象是关于 函数 y=ax2 的图象是 关于 y 轴对称的抛物线 . 的解为坐标的点组成的. 这条抛物线是所有以方程 y=ax2 的解为坐标的点组成的 这就是说: 这就是说: 如果点M(x0 ,y0)是抛物线上的点 如果点 是抛物线上的点 任意一点,那么 (x0 ,y0)一定是这个 任意一点, 一定是这个 方程的解; 方程的解; 反过来, 反过来,如果 (x0 ,y0)是方程 是方程 y=ax2 的解,那么以它为坐标的点一 的解, 定在这条抛物线上. 定在这条抛物线上. 这样, 是这条抛物线的方程, 这样,我们就说 y=ax2是这条抛物线的方程, 的抛物线. 这条抛物线叫做方程 y=ax2 的抛物线.
o y
L1
x
例 证明圆心为坐标原点,半径等于5 的圆的方程是 x2 + y 2 = 25 , 1
并判断点 M1(3 , 4) ,M 2 (2 5 ,) 是否在这个圆上 . 2
(1 y 则 证明: ) 设 M ( x0 , 0 ) 是圆上任意一点 , 由题意知 | MO | = 5 即 x02 + y02 = 5
P69 练 习:1,2,3 , , 作业: 作业: P72 1,2 ,
�
o
x y =0
x
反过来,如果 反过来,如果(x0 ,y0)是方程 x-y=0 是方程 的解, 的解,即x0 = y0,那么以这个解为坐标 , 的点到两轴的距离相等, 的点到两轴的距离相等,它一定在这条 平分线上. 平分线上. 这样, 是这条直线的方程, 这样,我们就说 x-y=0是这条直线的方程, 是这条直线的方程 这条直线叫做方程 x-y=0的直线. 的直线. 的直线