第2章 信号分类与描述
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上式表示Sx(f)曲线域频率轴所包围的面积为信号的平均功率，故称Sx(f)为自功率谱密度 函数。定义两个随机信号互相关函数的付里叶变换为互谱密度，即
互相关函数与互谱密度构成付里叶变换对。在实际应用中，常通过线性系统输入的自 谱密度和输入—输出的互谱密度测试系统的动特性。
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N(＝5)个电阻，在相同条件下测量它们两端的热噪声电压，并记录测量结果，得到图 2—7 所示的曲线族。图中每一条曲线为一随机起伏的时间函数。如果电阻数N足够大，那么所有
可能出现的各种形状曲线将都包含在此曲线簇中，这样的曲线簇称为随机过程，或随机函数
的总集。簇中的每一条曲线xi(t)(i＝1，2，3，…，N)称为总集的一个元素或一个样本函数。
信号用频谱描述的出现为人类认识客观世界开辟了一个新的领域，许多过去难以认识 的动态现象经过频谱分析就可以一目了然，如旋转机械振源的分析，音频放大器的分析和声 音合成等，频谱描述也是滤波等许多数字处理算法的理论基础。
1．周期信号与离散频谱 (1)周期信号的时域表示
周期信号在时域中其强度可以用峰 值、峰-峰值、均值、绝对均值和有效值来 表述，如图 2—4 所示。
不同被测对象中的物理信号各不相同，依据信号的数据特征可将其归纳为如图 2—1 所 示的几种类型。
确定性信号是指可用明确的数学关系来描述的信号，它包含周期信号和非周期信号两大
类。图 2—2 所示质量一弹簧振动系统作无阻尼自由振动时，质量块的位移信号 x(t)即是正 余弦周期信号。图中，A 为振动幅值的最大值，k 为弹簧刚度，m 为质量，ϕ0 为初始相角。
非确定性信号是无法用明确的数学解析关系式表达的信号，即无法预见对应于某一瞬 时信号幅值的数值。这种信号通常称为随机信号。通信系统和放大器的噪声、射线检出信号、 大气湍流、地震波形、船舶和建筑物以及汽车的摇晃等都属于随机信号。在对工程信号进行
分析时，大都假设随机信号是平稳的和各态历经(Ergodics)的，以利于实际问题的解决。
有效值是信号的均方根值xrms，即
有效值与信号的平均功率有关，通常所说交流电压为 220V 或 380V，指的就是电压有 效值的大小。
(2)周期信号的离散频谱
设有周期信号x(t)，其周期为T0，则
可以将其展开成三角级数，即博里叶级数:
式中： a0为常值分量, an为余弦分量的幅值 bn为正弦分量的幅值
5）周期函数的相关函数仍为同频率的周期函数。
若上式中x(t)和x(t+τ)所表示的是两个不同的信号，则Rxy(τ)就成为描述两个信号之间相
关与否的函数，称为互相关函数，记作
利用自相关或互相关函数的测量在检测技术中占有重要的地位。例如对强干扰环境下 微弱信号的提取、对系统动态特性的辨识、对物体移动速度及两相流的流速测量等,相关法 都是较为有效的方法，有时甚至是唯一有效的方法。
Βιβλιοθήκη Baidu第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
第二章 信号分类与描述
2.1 信号描述与分析
信号与系统是分不开的。同样一个输入x(t)，对于传递函数为H1(s)的系统，得到的输出 为yl(t)；对于传递函数为H2(s)的系统，得到的输出将为y2(t)。输出的不同取决于系统特性的
不同。因此，信号分析的任务有两个:(1)分析信号本身的特性，即求取表征信号特性的特征 值、特征参数和频率结构等．也就是从信号中提取有用信息；(2)分析传输信号的系统的特 性，寻求良好动态特性的系统以利于有用信息的提取。不同类型的信号有不同的特点，应采 用不同的分析方法。本章先介绍信号的分类，然后介绍各类信号的时域频域描述方法。 信号分类
周期信号的幅频谱是以基频ϕ0 为间隔的若干离散谱线，谱线在频率坐标上的疏密程度
直接与信号的基波频率有关。基波频率越低，谱线之间的距离越小。可以想象，当信号周期 无限增大时，相邻谱线之间的距离将无限缩小，最后当信号成为非周期信号时，其谱线将从 离散转变为连续。
瞬变非周期信号如果满足付里叶变换条件
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固定，ξ 为变量，这是对集(或者说随机变量)进行操作；若 ξ 固定，t为变量则是对单个时间
函数进行操作。
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
随机信号无法用精确的数学表达式或图表来描述，只能采用统计方法来描 述它的规律。通常从以下三个方面进行数学描述：
幅值域：均值、均方值、方差、概率密度函数； 时间域：自相关函数、互相关函数； 频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。 (1）幅值域
随机过程是一个很复杂的过程，它不仅与时间有关，而且是实验结果的函数。对于上述例子，
其中某个电阻的热噪声电压不仅随时间变化，而且还与选中的是哪一个电阻有关。把从N个 电阻中选取一个作为一次实验，所选中第i个电阻的实验结果用 ξ 表示，于是该电阻的噪声
i
电压将是ξ 和t的函数。用 X (ξ ,t) 表示随机过程， X (ξ ,t) 即代表图 2-7 所示的曲线簇。若t i
概率密度函数提供了随机信号幅值的分布情况。不同性质的随机信号有不同的概率密度函 数，可以借此来识别信号的性质，也可以用统计概率分布图和直方图来估计概率密度函数。
（2）时间域
时域分析中最常用的是自相关函数和互相关函数法。设随机信号在任意两个时刻 t 和 t+τ 的值分别为 x(t)和 x(t+τ)，则两者乘积对整个时间坐标 t 积分的平均值就称为自相关函 数，记作 Rxx (τ ) ，即
均值
μ
x
、均方值
Ψx2
和方差
σ
2 x
是描述随机变量幅值情况的统计参数。均值表示信号的
常值分量、均方值描述随机信号的强度、方差描述随机信号的波动分量。按照定义，上述三 个统计参数是对集进行统计平均运算，但对于各态历经的平稳随机过程，可以用时间平均代 替集平均，而且这三个统计量不随时间而改变。计算公式为
直接检测或记录到的信号 一般是随时间变化的物理量，称为信号的时间域描述。以时间作为独立变量的描述方式反映 信号随时间变化的特征，比较直观，但不能明确揭示信号中的频率信息。用频率作为独立变 量来描述信号称为信号的频域描述。频域描述是把—复杂信号分解成多个频率不同的正(余) 弦信号之和，能分解出多少个正(余)弦信号，就认为这一复杂信号有多少个频率成分。表述 信号的频率成分与幅值关系的频域描述称为幅频谱，表述信号的频率成分与相位关系的领域 描述称为相频谱，统称为频谱(spectrum)。信号的时域描述和频域描述可以通过付里叶级数、 傅里叶变换或反变换相互转换。
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
2.2 信号的时域、频域描述与分析
由上面的介绍可知，不同类 型的信号具有不同的特点。另一 方面，同一信号可以从不同的角 度进行描述和分析，以揭示事物 不同侧面的内在规律和固有特 性。(只有深入地了解信号的各 种特性才能确定最佳的测量和 分析方法，明确对检测系统及其 各环节的要求，检验检测系统及 其各环节的性能，提高测试的质 量。
自相关函数 Rxx (τ ) 是描述随机信号相隔一定时间间隔的两点间相关特性的函数，具有
以下性质：
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
1） Rxx (τ ) 是 τ 的偶函数。 2） Rxx (0) 是 x(t)的均方值。 3）对任意 τ，都有 Rxx (0) ≥| Rxx (τ ) | ，即 Rxx (τ ) 在 τ=0 时具有峰值。 4） Rxx (∞) → 0 (若 x(t)的均值为零).
第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
其频域描述经付里叶变换．可得
反之，通过付里叶反变换可由信号的频域描述得到时域描述：
图 2－6 所示为瞬变非周期信号矩形窗函数的时域和频谱图。
3．随机信号的统计参数及时域、频域描述 随机信号随时间的变化是无规则的、不可预测的，它不能表示为确定的时间函数，因 而不能用有限个参数来描述。 电阻的热噪声电压就是一种典型的随机信号。例如对于用相同材料、相同工艺制成的
复杂周期信号是指可以用付里叶级数展开成许 多以致无限项正(余)弦谐波信号之和的信号。常见的 连续矩形波、三角波和锯齿波信号等就属于复杂周 期信号。
如果组成信号的各正(余)弦信号的频率比不是
有理数，如 x(t) = sin(ωt + 2ωt) ，这种信号称为
准周期信号。在工程领域内，不同独立振源对某对 象的激振而形成的振动往往是属于这一类信号。瞬 变（非周期）信号是一些或在一定时间内存在，或随时间的增长而衰减至零的信号。如有阻 尼振动系统的位移信号、用锤子敲击物体时的敲击力信号等,如图 2-3 所示。
ϖ 0 为基波角频率，也就是被测信号的角频率：
上式可改写为 式中，
由此可求得信号 x(t)的幅频谱和相频谱。
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
例；设有周期方波信号： 由上式求得
周期方波的时域图和幅频谱、相频谱图如图 2—5 所示。概括起来，周期信号的频谱具 有以下特点：
1）周期信号的频谱是离散的； 2）幅频谱和相频谱只出现在基波频率整数倍的频率上； 3）对于工程中常见的周期信号，幅频谱中各谐波幅值随着谐波次数的增高而减小。 2．瞬变非周期信号及其连续频谱
1）峰值xp：是信号可能出现的最大
瞬时值，即
在某些需要得到被测量极限值的场合，测 量的就是峰值。
2） 峰—峰值xp-p,：是在一周期内最大瞬时值与最小瞬时值之差。 周期信号的均值 μ x 为
均值反映信号直流分量的大小。
3）周期信号的绝对均值 μτ 为
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
(3)频率域 对于随机信号，因其样本函数持续时间是无限的，即其总能量无限，不能满足付氏变 换绝对可积条件．难以用分析确定性信号的方法直接对随机过程进行频谱分析，因而转用相
关函数的付里叶变换来描述随机信号的频域特征。自相关函数 Rxx (τ ) 通常满足付氏变换绝
对可积条件，其付里叶变换为
称Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数或自谱密度，自功率谱密度函数有明确的物理意义， 由自相关函数 Rxx (τ ) 和自谱密度Sx(f)的定义可推得
互相关函数与互谱密度构成付里叶变换对。在实际应用中，常通过线性系统输入的自 谱密度和输入—输出的互谱密度测试系统的动特性。
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N(＝5)个电阻，在相同条件下测量它们两端的热噪声电压，并记录测量结果，得到图 2—7 所示的曲线族。图中每一条曲线为一随机起伏的时间函数。如果电阻数N足够大，那么所有
可能出现的各种形状曲线将都包含在此曲线簇中，这样的曲线簇称为随机过程，或随机函数
的总集。簇中的每一条曲线xi(t)(i＝1，2，3，…，N)称为总集的一个元素或一个样本函数。
信号用频谱描述的出现为人类认识客观世界开辟了一个新的领域，许多过去难以认识 的动态现象经过频谱分析就可以一目了然，如旋转机械振源的分析，音频放大器的分析和声 音合成等，频谱描述也是滤波等许多数字处理算法的理论基础。
1．周期信号与离散频谱 (1)周期信号的时域表示
周期信号在时域中其强度可以用峰 值、峰-峰值、均值、绝对均值和有效值来 表述，如图 2—4 所示。
不同被测对象中的物理信号各不相同，依据信号的数据特征可将其归纳为如图 2—1 所 示的几种类型。
确定性信号是指可用明确的数学关系来描述的信号，它包含周期信号和非周期信号两大
类。图 2—2 所示质量一弹簧振动系统作无阻尼自由振动时，质量块的位移信号 x(t)即是正 余弦周期信号。图中，A 为振动幅值的最大值，k 为弹簧刚度，m 为质量，ϕ0 为初始相角。
非确定性信号是无法用明确的数学解析关系式表达的信号，即无法预见对应于某一瞬 时信号幅值的数值。这种信号通常称为随机信号。通信系统和放大器的噪声、射线检出信号、 大气湍流、地震波形、船舶和建筑物以及汽车的摇晃等都属于随机信号。在对工程信号进行
分析时，大都假设随机信号是平稳的和各态历经(Ergodics)的，以利于实际问题的解决。
有效值是信号的均方根值xrms，即
有效值与信号的平均功率有关，通常所说交流电压为 220V 或 380V，指的就是电压有 效值的大小。
(2)周期信号的离散频谱
设有周期信号x(t)，其周期为T0，则
可以将其展开成三角级数，即博里叶级数:
式中： a0为常值分量, an为余弦分量的幅值 bn为正弦分量的幅值
5）周期函数的相关函数仍为同频率的周期函数。
若上式中x(t)和x(t+τ)所表示的是两个不同的信号，则Rxy(τ)就成为描述两个信号之间相
关与否的函数，称为互相关函数，记作
利用自相关或互相关函数的测量在检测技术中占有重要的地位。例如对强干扰环境下 微弱信号的提取、对系统动态特性的辨识、对物体移动速度及两相流的流速测量等,相关法 都是较为有效的方法，有时甚至是唯一有效的方法。
Βιβλιοθήκη Baidu第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
第二章 信号分类与描述
2.1 信号描述与分析
信号与系统是分不开的。同样一个输入x(t)，对于传递函数为H1(s)的系统，得到的输出 为yl(t)；对于传递函数为H2(s)的系统，得到的输出将为y2(t)。输出的不同取决于系统特性的
不同。因此，信号分析的任务有两个:(1)分析信号本身的特性，即求取表征信号特性的特征 值、特征参数和频率结构等．也就是从信号中提取有用信息；(2)分析传输信号的系统的特 性，寻求良好动态特性的系统以利于有用信息的提取。不同类型的信号有不同的特点，应采 用不同的分析方法。本章先介绍信号的分类，然后介绍各类信号的时域频域描述方法。 信号分类
周期信号的幅频谱是以基频ϕ0 为间隔的若干离散谱线，谱线在频率坐标上的疏密程度
直接与信号的基波频率有关。基波频率越低，谱线之间的距离越小。可以想象，当信号周期 无限增大时，相邻谱线之间的距离将无限缩小，最后当信号成为非周期信号时，其谱线将从 离散转变为连续。
瞬变非周期信号如果满足付里叶变换条件
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固定，ξ 为变量，这是对集(或者说随机变量)进行操作；若 ξ 固定，t为变量则是对单个时间
函数进行操作。
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
随机信号无法用精确的数学表达式或图表来描述，只能采用统计方法来描 述它的规律。通常从以下三个方面进行数学描述：
幅值域：均值、均方值、方差、概率密度函数； 时间域：自相关函数、互相关函数； 频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。 (1）幅值域
随机过程是一个很复杂的过程，它不仅与时间有关，而且是实验结果的函数。对于上述例子，
其中某个电阻的热噪声电压不仅随时间变化，而且还与选中的是哪一个电阻有关。把从N个 电阻中选取一个作为一次实验，所选中第i个电阻的实验结果用 ξ 表示，于是该电阻的噪声
i
电压将是ξ 和t的函数。用 X (ξ ,t) 表示随机过程， X (ξ ,t) 即代表图 2-7 所示的曲线簇。若t i
概率密度函数提供了随机信号幅值的分布情况。不同性质的随机信号有不同的概率密度函 数，可以借此来识别信号的性质，也可以用统计概率分布图和直方图来估计概率密度函数。
（2）时间域
时域分析中最常用的是自相关函数和互相关函数法。设随机信号在任意两个时刻 t 和 t+τ 的值分别为 x(t)和 x(t+τ)，则两者乘积对整个时间坐标 t 积分的平均值就称为自相关函 数，记作 Rxx (τ ) ，即
均值
μ
x
、均方值
Ψx2
和方差
σ
2 x
是描述随机变量幅值情况的统计参数。均值表示信号的
常值分量、均方值描述随机信号的强度、方差描述随机信号的波动分量。按照定义，上述三 个统计参数是对集进行统计平均运算，但对于各态历经的平稳随机过程，可以用时间平均代 替集平均，而且这三个统计量不随时间而改变。计算公式为
直接检测或记录到的信号 一般是随时间变化的物理量，称为信号的时间域描述。以时间作为独立变量的描述方式反映 信号随时间变化的特征，比较直观，但不能明确揭示信号中的频率信息。用频率作为独立变 量来描述信号称为信号的频域描述。频域描述是把—复杂信号分解成多个频率不同的正(余) 弦信号之和，能分解出多少个正(余)弦信号，就认为这一复杂信号有多少个频率成分。表述 信号的频率成分与幅值关系的频域描述称为幅频谱，表述信号的频率成分与相位关系的领域 描述称为相频谱，统称为频谱(spectrum)。信号的时域描述和频域描述可以通过付里叶级数、 傅里叶变换或反变换相互转换。
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2.2 信号的时域、频域描述与分析
由上面的介绍可知，不同类 型的信号具有不同的特点。另一 方面，同一信号可以从不同的角 度进行描述和分析，以揭示事物 不同侧面的内在规律和固有特 性。(只有深入地了解信号的各 种特性才能确定最佳的测量和 分析方法，明确对检测系统及其 各环节的要求，检验检测系统及 其各环节的性能，提高测试的质 量。
自相关函数 Rxx (τ ) 是描述随机信号相隔一定时间间隔的两点间相关特性的函数，具有
以下性质：
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
1） Rxx (τ ) 是 τ 的偶函数。 2） Rxx (0) 是 x(t)的均方值。 3）对任意 τ，都有 Rxx (0) ≥| Rxx (τ ) | ，即 Rxx (τ ) 在 τ=0 时具有峰值。 4） Rxx (∞) → 0 (若 x(t)的均值为零).
第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
其频域描述经付里叶变换．可得
反之，通过付里叶反变换可由信号的频域描述得到时域描述：
图 2－6 所示为瞬变非周期信号矩形窗函数的时域和频谱图。
3．随机信号的统计参数及时域、频域描述 随机信号随时间的变化是无规则的、不可预测的，它不能表示为确定的时间函数，因 而不能用有限个参数来描述。 电阻的热噪声电压就是一种典型的随机信号。例如对于用相同材料、相同工艺制成的
复杂周期信号是指可以用付里叶级数展开成许 多以致无限项正(余)弦谐波信号之和的信号。常见的 连续矩形波、三角波和锯齿波信号等就属于复杂周 期信号。
如果组成信号的各正(余)弦信号的频率比不是
有理数，如 x(t) = sin(ωt + 2ωt) ，这种信号称为
准周期信号。在工程领域内，不同独立振源对某对 象的激振而形成的振动往往是属于这一类信号。瞬 变（非周期）信号是一些或在一定时间内存在，或随时间的增长而衰减至零的信号。如有阻 尼振动系统的位移信号、用锤子敲击物体时的敲击力信号等,如图 2-3 所示。
ϖ 0 为基波角频率，也就是被测信号的角频率：
上式可改写为 式中，
由此可求得信号 x(t)的幅频谱和相频谱。
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
例；设有周期方波信号： 由上式求得
周期方波的时域图和幅频谱、相频谱图如图 2—5 所示。概括起来，周期信号的频谱具 有以下特点：
1）周期信号的频谱是离散的； 2）幅频谱和相频谱只出现在基波频率整数倍的频率上； 3）对于工程中常见的周期信号，幅频谱中各谐波幅值随着谐波次数的增高而减小。 2．瞬变非周期信号及其连续频谱
1）峰值xp：是信号可能出现的最大
瞬时值，即
在某些需要得到被测量极限值的场合，测 量的就是峰值。
2） 峰—峰值xp-p,：是在一周期内最大瞬时值与最小瞬时值之差。 周期信号的均值 μ x 为
均值反映信号直流分量的大小。
3）周期信号的绝对均值 μτ 为
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第二章 信号描述与分析、误差分析与数据处理
(3)频率域 对于随机信号，因其样本函数持续时间是无限的，即其总能量无限，不能满足付氏变 换绝对可积条件．难以用分析确定性信号的方法直接对随机过程进行频谱分析，因而转用相
关函数的付里叶变换来描述随机信号的频域特征。自相关函数 Rxx (τ ) 通常满足付氏变换绝
对可积条件，其付里叶变换为
称Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数或自谱密度，自功率谱密度函数有明确的物理意义， 由自相关函数 Rxx (τ ) 和自谱密度Sx(f)的定义可推得