矩阵分解及应用

矩阵分解及应用
1 引言
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具许多数学模型都可以用矩阵表示,矩阵理论既是学习数学的基础,又是一门最有实用价值的数学理论.它不仅是数学的一个重要分支,而且业已成为现代各科领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.矩阵在代数学习课程中占有重要的地位,而矩阵的分解在矩阵理论研究及其应用中有着重要意义,是其他一些研究课题解决问题的工具.
本文介绍了矩阵的几种分解方法:三角分解、正交分解、满秩分解、奇异值分解以及各种分解方法的应用.三角分解在求线性方程组的过程中占有十分重要的作用;正交三角
)(QR 分解在计算数学中扮演十分重要的角色,尤其是以QR 分解所建立的QR 方法,已对数
值线性代数理论的近代发展起了关键的作用;矩阵的满秩分解和奇异值分解是近几十年来求各类最小二乘问题和最优化问题的重要数学工具. 2 矩阵的三角分解及应用 2.1 杜利特尔分解法
定义 2.1]1[ 对于n 阶矩阵A =)(ij a ,n j i ,,2,1, =.如果LU A =,其中L 为单位下三角矩阵,U 为上三角矩阵,则称LU A =为矩阵A 的杜利特尔分解. 确定三角矩阵L 和U 的方法:
设LU A =,其中L =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡1112121 n n l l l ,U =⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n u u u u u u 22211211 按矩阵的乘法有
ij a =
∑=)
,m in(1
j i s sj is
u l
,n j i ,,2,1, =
由于
kk l =1
所以有
kj a =+
kj u ∑-=1
1
k s sj ks
u l
,n k k j ,,1, +=
所以
kj u =-
kj a ∑-=1
1
k s sj ks
u l
,n k k j ,,1, +=
同理
ik l =
kk
sk
k s is ik u u l a ∑-=-1
1
,n k k i ,,2,1 ++=
这样便可以得到三角矩阵L 和U . 2.2 克劳特分解法
定义 2.2]1[ 对于n 阶矩阵A =)(ij a ,n j i ,,2,1, =,如果LU A =,其中L 为下三角矩阵,U 为单位上三角矩阵,称LU A =为矩阵A 的克劳特分解.
确定三角矩阵L 和U 的方法:
设LU A =,其中L =⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡nn n n l l l l l l 2
1212111,U =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1112112 n n u u u 按矩阵的乘法有
ij a =
∑=)
,m in(1
j i s sj is
u l
,n j i ,,2,1, =
由于
kk u =1
所以有
ik a =+
ik l ∑-=1
1
k s sk is
u l
,n k k i ,,1, +=
所以
ik l =-ik a ∑-=1
1k s sk is u l .n k k i ,,1, +=.
同理
=
kj u kk
sj
k s ks kj l u l a ∑-=-1
1
,1,2,,j k k n =++
这样便可以得到三角矩阵L 和U . 2.3 矩阵三角分解的应用
例2.1 用LU 分解法求解下列方程组
123121
32528
2117
x x x x x x x ++=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 解 （1）杜利特尔分解法:
原方程组的系数矩阵为A =⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1102021211 令 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101
00
132
3121l l l 1112
1322233300
0u u u u
u u ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1102021211 则有
=j u 1j a 1;=
1i l 11
1
u a i 1i a = =22u -22a 21l 12u 1=;=23u -23a 21l =13u 2- =
32l 22
12
3132a u u l -2-=;=33u 33a 31(l -13u 32l +)23u 3=
所以
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡10100132
31
21l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122011001 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡2323221312
1100
0u u u
u u u ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=300210211 这样原方程组就化为依次求下列两个三角方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=785 （2-1） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300210211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321y y y （2-2）
解方程组（2-1）可得=1y 5,=2y 3,=3y 3 代入（2-2）可得=1x 2-,=2x 5,=3x 1.
（2）克劳特分解法:
令 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3332
3122
2111000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10
010*******
u u u ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1102021211 则有
=1i l 1i a ;=
i u 111
1l a i
i a 1= =22l 22a 21l -12u 1= ;=32l 31l 12u 2-= =
23u 22
13
2123l u l a -2-=;=33l -33a 31(l +13u 32l 3)23=u
所以
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3220110010003332
31
222111l l l l l l ,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021021110
010*******
u u u 这样原方程组就化为依次求下列两个三角方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-322011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=785 （2-3） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100210211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321y y y （2-4） 则由方程组（2-3）可得51=y ,=2y 3,=3y 1 代入（2-4）可得21-=x ,52=x ,13=x .
由上述解题过程可以看出,为求方程组的解,可先把方程组的系数矩阵进行分解,方程
组化为b LUX =,则求解此方程组要化为依次求方程组Ly b
Ux y =⎧⎨=⎩,由Ly b =可求出y ,再将y
代入Ux y =，求出x 即得方程组的解.这两种方法在解更多元的方程组中比其它的消元法更加方便.
3 矩阵的正交三角)(QR 分解及应用 3.1 矩阵的正交三角)(QR 分解
定义3.1]3[ 如果实（复）非奇异矩阵A 能够化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积,即QR A =,则称式QR A =为矩阵A 的QR 分解.
把一个矩阵A 进行正交分解的方法:
设n 阶实（复）非奇异矩阵A 的n 个列向量依次为n 21α,,α,α ,由于A 非奇异,所以这
n 个向量线性无关,将它们正交化,可得到n 个标准正交列向量n q q q ,,,21 ,将n
21α,,α,α 正交化,可得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧---=-==--1
111,1
21221
1ββαββαβαβn n n n n n k k k 其中,(,)()(,)
i j ij j j k j i =
<αβββ,将上式改写为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+==--n
n n n n n k k k βββαββαβα11,112
12121
1 用矩阵形式表示为)(n 21α,,α,α =C n ),,,(21βββ ,其中C =⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡1112121 n n k k k 再将n βββ,,,21 单位化,可得1
i i i
=q ββ,(1,2,)i n =…, 于是有
()=12n α,α,,α()n C 12=β,β,,β()n 12q ,q ,
,q ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡n βββ
2
1C 令
⎩
⎨
⎧⋅==C diag R Q n n ),,,()
,,,(2121βββq q q （3-1） 则Q 是正交（酉）矩阵,R 是上三角矩阵,且有QR A =.
例3.1 求矩阵011110101A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦的QR 分解. 解 令 1230111,1,0101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ααα 将它们进行正交化可得
1122133212130111121,,2232
311223⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦⎣
⎦βαβαββαββ 根据（3-1）构造矩阵
0Q ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎦
111
221131R ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥==⎢
⎥⎢
⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢
⎥⎢⎢⎢
⎥⎣⎦⎣
⎣
则有QR A =.
3.2 矩阵正交三角()QR 分解的应用
通过对实系数n 次方程求根问题及上Hessenberg 阵的QR 分解理论的分析和研究,将实系数n 次方程的求根问题转化为求上Hessenberg 阵的特征值问题,利用上Hessenberg 阵
的QR 分解法求实系数n 次方程
11100n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=
的全部实根.
对于实系数n 次方程1110()0n n n n n P x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=,令
i
i n
a b a =
,(0,1,2,,1)i n =-
则()0n P x =化为首项系数为1的代数方程
1110()0n n n n Q x x b x b x b --=++⋅⋅⋅++=
由线性代数可知,()0n Q x =可以看成是实矩阵A 的特征多项方程0E A λ-=, 即1110()0n n n n Q b b b λλλλ--=++⋅⋅⋅++=,其中
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-----=---01
0010000001
00000101
32
1
b b b b b A n n n 因此,求方程()0n Q x =的全部实根就转化为求上述矩阵A 的全部实特征值.可以直接用QR 分解法求出矩阵A 的全部实特征值. 4 矩阵的满秩分解及应用 4.1 矩阵的满秩分解
定义 4.1[5] 设矩阵(0)m n r A C r ⨯∈>,如果存在矩阵m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈和,使得A FG =,则称式A FG =为矩阵A 的满秩分解.
对矩阵A 作满秩分解的方法:
设矩阵(0)m n r A C r ⨯∈>,rankA r =,根据矩阵的初等变换理论,对矩阵A 进行初等行变
换,可将矩阵A 化为阶梯形矩阵B ,即0G A B ⎡⎤
→=⎢⎥⎣⎦
行
,r n r G C ⨯∈,于是存在有限个m 阶初等矩
阵的乘积,记作P ,使得
PA B = 或者 A P B -1=
将P -1分块为
[]P F
S -1=,m r m r n r
F C S C ⨯⨯-∈∈（n-r ）
， 则有
[]10G A P B F
S FG -⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
其中F 是列满秩矩阵,G 是行满秩矩阵.
例4.1 求矩阵02042100036330211441j j j
A j j +⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
（j =. 解 根据上述的理论提供的算法,需要求出阶梯形矩阵B 及诸初等矩阵的乘积P ,为此,对矩阵[]A I 进行初等行变换,当A 所在的位置成为阶梯形矩阵B 时,I 所在的位置就是进行初等变换对应的初等矩阵的乘积P .
[]=I A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+10014411200103363000001124020j j j
j j ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-+---−→−13100000003101210000021212102110j j j j j 行
所以
11100010122221000121003000000113j j j B j j ⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，P=
可求得
1200030211j P -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以
201101012032200
012121j j j A j ⎡⎤⎡
⎤
--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢
⎥
+⎢⎥⎣⎦
⎣⎦.
4.2 矩阵满秩分解的应用
利用矩阵的满秩分解处理一些问题时,有时会十分方便,下面介绍运用矩阵的满秩分解,给出线性方程组最小二乘解和极小范数最小二乘解.
定理 4.1[3] 设矩阵{13}m n m A C b C A A ⨯∈∈∈（1，3），，，,则x A b =（1，3）
是方程组b Ax =的
最小二乘解.
定理 4.2[6] 设矩阵m n m A C b C ⨯∈∈，,则x A b +=是方程组Ax b =的极小范数最小二乘解.
例4.2 取例4.1中的矩阵A 和11j b -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,求方程组Ax b =的极小范数最小二乘解. 解 由例4.1知矩阵A 的一个满秩分解式为
201101012032200012121j j j A FG j ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ 于是有
82210H
F F ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
,H 13
39222
GG 39722
j j ⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦
从而
H H H H F F F GG G A 11)()(--+=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=130202411538113939314461121221100210100
j j j j j j
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++-------+-+---+---=j j j j j j j j j
j j j
j j j 2091177138137399682636709481121655690960543973918120108781461800017481
所以方程组Ax b =的极小范数最小二乘解为
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------==+j j j j j b A x 59462129551813362608741.
5 矩阵的奇异值分解及应用
矩阵的奇异值分解不仅是矩阵理论和矩阵计算的最基本和最重要的工具之一,而且在控制论、系统辨识、信号处理、最优化问题、特征值问题、最小二乘问题及统计学等方面都有直接而重要的应用,以下介绍矩阵奇异值分解及在广义逆中的应用. 5.1矩阵的奇异值分解
定义5.1[6] 设矩阵(0)m n r A C r ⨯∈>,H A A 的特征值为
12r r 1n 0λλλλλ+≥≥≥>===
则称i σ=n i ,,2,1 =）为矩阵A 的奇异值.
定义5.2]6[ 设矩阵(0)m n r A C r ⨯∈>,则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ,使得
00
0H U AV ⎡
⎤
=⎢⎥⎣⎦
∑
（5-1）
其中∑=),,,(21r diag σσσ ,而i σ),,2,1(r i =为矩阵A 的全部非零奇异值,则
00
0H A U V ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∑
为矩阵A 的奇异值分解.
对一个矩阵A 作奇异值分解的方法:
设矩阵(0)m n r A C r ⨯∈>,记Hermite 矩阵H A A 的特征值为
12r r 1n 0λλλλλ+≥≥
≥>===
则存在n 阶酉矩阵V ,使得
1
2
0()00H H n V A A V λλ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
∑ （5-2）
将V 分块为
[]()1212,,n r n n r r n r
V V V V C V C ⨯⨯--=∈∈ 并改写式（5-2）为
2
00
0H
A AV V ⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
∑
则有
2
112,0H H A AV V A AV ==∑
（5-3） 由式（5-3）的第一式可得
2
11H H V A AV =∑ 或者 11
11)()H
r AV AV I --=∑
∑
(
由式（5-3）的第二式可得
22()()0H AV AV = 或者 2AV =0
令1
11U AV -=∑
,则11H r U U I =,即1U 的r 个列是两两正交的单位向量,记作
1(,,,)r U 12=υυυ.所以可将,,
,r 12υυυ,扩充为m C 的标准正交基,记增添的向量为
,
,r m +1υυ,并构造矩阵2,,r m U +1=(υυ),则
[]121,,
,,,r r m U U U 12+==(υυυυυ)，
是m 阶酉矩阵,且有11210H H r U U I U U ==， 于是可得 []1111
21212000H H H
H
H H U U U U AV U
AV AV U U U
U ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
⎣⎦
∑∑∑
=== 000⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
∑
= 改写式（5-1）为
00
0H
A U V ⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
∑
所以矩阵A 可以进行奇异值分解,其分解式为 H
V U A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑00
0. 例5.1 求矩阵100111A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的奇异值分解. 解 2112T
B A A ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
的特征值是13λ=,21λ=,对应的特征向量依次为 111ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
, 211
ξ-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
于是可得
2=rankA
,001⎤
=⎥⎣⎦
∑
所以存在正交矩阵
V =⎥⎥⎦
此时 V V =1,计算
1110U AV -⎥
==⎥⎥⎥⎥⎦
∑
构造 [
]1
20
U U U ==⎥⎥⎦ 则A 的奇异值分解为
00100H A U V ⎤⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
5.2 奇异值分解在广义逆中的应用
定义5.2[10] 矩阵m n A C ⨯∈,满足方程
AXA A = (1) XAX X = (2) ()H AX AX = (3)
()H XA XA = (4)
中的)(i )(,j ,, )(l 的n m X C ⨯∈称为A 的一个},,,{l j i -逆,记作(,,
,)
i j l A ,另外还可以记作
{,,
,}X A i j l ∈,其中{,,
,}A i j l 表示(,,
,)
i j l A 的全体,特别记(1,2,3,4)A A +=,称A +为A 的
Penrose Moore -广义逆,有了奇异值分解,我们就能很容易地利用矩阵A 的奇异值分解表示出矩阵A 的各种广义逆(,,
,)
i j l A .
矩阵A 的奇异值分解的应用:
设m n A C ⨯∈有奇异值分解H
V U A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=∑
000
（5-4） 其中U 和V 均为酉矩阵,01>⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=∑
r σσ . )(A rank r =,对于 X ＝(,,,)
i j l A ,记⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡==2221
1211
^
X X X X XU V X H 则
)1H
U X X X V A
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=-∑2221121
)
1( （5-5）
)2H
U X X X X V A
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=∑
∑-122121
121)
2,1( （5-6） )3H
U X X V A
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡=-∑22211
)
3,1(0 （5-7）
)4H
U X X V A
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡=-∑22121)
4,1(0 （5-8）
)5H
U X V A
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎣
⎡=-∑00211)
3,2,1( （5-9）
)6H
U X V A
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=-∑00121)
4,2,1(
（5-10） )7H
U V A ⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎣
⎡=-+∑0001
（5-11）
证明 )1 由式AXA A =可知,H
H
H
V U V XU V U ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∑∑∑
00
0000000 即
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑
∑∑00
000
000
02221
1211X X X X 故可知∑∑∑=11X ,即1
11-∑
=X ,则式（5-5）得证.
)2 把（5-4）式和（5-5）式代入式XAX X =可得 H
H
U X X X V U X X X X X X V ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---∑∑
∑∑22211212221
121
2221
12100
0 即
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--∑∑
∑2221121
122121
121
X X X X X X X 亦即122122X X X ∑=,则（5-6）式得证.
)3 由（5-4）式和（5-5）式可知 H
H
U X I U U X X X U AX ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
=∑
∑∑
-0000
0122221
121
但由式H AX AX )(=,故必有12X ＝0,则（5-7）式得证.
)4 由（5-4）式和（5-5）式可知 H
H
H V X I V V U U X X X V XA ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣
⎡=∑∑∑-0000
021*******
但由式()H
XA XA =,则21210()000H
H
H
I I X XA V V V V X
⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑ 故必有021=X ,则（5-8）式得证.
)5 由（5-4）式和（5-6）式可知
H
H H U X I
U U X X X X V V U AX ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑∑∑-0000021211221
121
但由式()H AX AX =,则有
H
H H U X I U U X I
U AX ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=∑∑
0000)(1212 所以有012=X .
由（5-4）式和（5-7）式可知
H
H
H H U X V U X X V V U U X X V XAX ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=---∑∑∑∑00000002112221
1
2221
1
但由式XAX X =,则有
H
H
U X X V U X V ⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡--∑∑22211211
000 所以有022=X ,则（5-9）式得证.
)6 由（5-4）式和（5-6）式可知
H
H
H V X I V V U U X X X X V XA ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=∑
∑
∑
∑-0000021211221
121
但由式()H XA XA =,则有
H
H
V X I V V X I
V ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∑∑00002121 所以有021=X .
由（5-4）式和（5-8）式可知
H
H
H H U X V U X X V V U U X X V XAX ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=---∑∑∑∑000
0000
12122121
22121
但由式XAX X =,则有
H
H
U X X V U X V ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--∑∑22121121
00
所以有022=X ,则（5-10）式得证.
)7 由（5-4）式和（5-9）式可知
H
H
H V X I V V U U X V XA ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=∑∑∑-000000021211
但由式()H XA XA =,则有
H
H V X I
V X I V ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∑∑00002121 所以有021=X .
由（5-4）式和（5-10）式可知
H
H
H U X I U U X V V U AX ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
=∑∑∑
-0000
00
012121
但由式()H AX AX =,则有
H
H U X I U U X I
U ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∑∑00001212 所以有012=X ,由)5的证法可知022=X .则（5-11）式得证. 6 结束语
本文论述了矩阵的分解及这些分解在其它学科中的应用，在论述过程中着重讨论了三角分解、QR 分解、满秩分解及奇异值分解的具体应用.对于矩阵的分解可以借助计算机和一些数学软件进行分解，利用这些工具可以很方便的求出矩阵的某一种分解，这样在计算矩阵分解时就可以节省很多的时间.但矩阵的分解并不是只有这四种分解，还存在有其它的分解及其相应的应用，在这就不再做深入的研究了，要进行更深入的分析，使其更加完善，有待于今后的进一步研究.
参考文献
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