高考数学试题汇编命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考试题

考点一 命题及其关系

1.(2012年湖南卷,理2)命题“若α=

π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) (A)若α≠π4

,则tan α≠1 (B)若α=π4,则tan α≠1 (C)若tan α≠1,则α≠π4 (D)若tan α≠1,则α=π4

解析:因为“若p,则q ”的逆否命题为“若⌝q,则⌝p ”,所以“若α=

π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠

π4

”. 答案:C 2.(2011年陕西卷,理1)设a,b 是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )

(A)若a ≠-b,则|a|≠|b| (B)若a=-b,则|a|≠|b|

(C)若|a|≠|b|,则a ≠-b (D)若|a|=|b|,则a=-b

解析:将命题的条件与结论互换位置即得其逆命题.

答案:D

3.(2013年山东卷,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩

所表示的区域上一动点,则

直线OM 斜率的最小值为( )

(A)2 (B)1 (C)-13 (D)-1

2

解析:如图所示,△ABC 及内部即阴影部分为不等式组所表示平面区域,\

由210,380

x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 得B(3,-1),

当M 与B 重合时直线OM 斜率最小.

则k OM =-13

.故选C. 答案:C

考点二 充分条件与必要条件

1.(2013年福建卷,理2)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A ⊆B ”的( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 解析:若a=3,则A={1,3},所以A ⊆B;若A ⊆B,则a=2或a=3.故选A. 答案:A

2.(2012年陕西卷,理3)设a,b ∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+

i b 为纯虚数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 解析:若a+

i b =a-bi 为纯虚数,则a=0且b ≠0,故ab=0,必要性成立;但b=0时,a-bi 为实数,充分性不成立.故选B.

答案:B

3.(2013年浙江卷,理4)已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0, ϕ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ϕ=π2”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0, 所以cos φ=0,

所以ϕ=

π2+k π(k ∈Z), 故ϕ=

π2不成立; 若ϕ=π2

, 则f(x)=Acos(ωx+π2

)=-Asin(ωx),f(x)是奇函数. 所以f(x)是奇函数是φ=

π2的必要不充分条件.故选B. 答案:B

4.(2012年天津卷,理2)设φ∈R,则“ϕ=0”是“f(x)=cos(x+ϕ)(x ∈R)为偶函数”的( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 解析:若ϕ=0,则f(x)=cos(x+ϕ)=cos x 为偶函数,

∴充分性成立;

反之,若f(x)=cos(x+ϕ)为偶函数,则ϕ=k π(k ∈Z),

∴必要性不成立.故选A.

答案:A

5.(2011年天津卷,理2)设x,y ∈R,则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的( ) (A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 解析:由x ≥2且y ≥2可得x 2+y 2≥4,但反之不成立.

故选A.

答案:A

6.(2013年安徽卷,理4)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

解析:当a≤0,x∈(0,+∞)时,f(x)=-(ax-1)·x=-ax2+x,易知f(x)是增函数,即“a≤0⇒f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”.反之,因f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增函数,若a=0,则f(x)=x符合要求,

若a≠0,则函数y=ax2-x与x轴有两个交点,因y在(0,+∞)上是增函数,需使1

a

<0,即a<0,从而

“f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增函数⇒a≤0”,故选C.答案:C

7.(2012年四川卷,理7)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使a

a

=

b

b

成立的充分条件是( )

(A)a=-b (B)a∥b

(C)a=2b (D)a∥b且|a|=|b|

解析: a

a

,

b

b

分别是与a,b同方向的单位向量,由

a

a

=

b

b

得a与b的方向相同.而a∥b时,a与b的方向还

可能相反.故选C.

答案:C

8.(2011年陕西卷,理12)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .

解析:∵x2-4x+n=0有整数根,

∴=2

∴4-n为某个整数的平方且4-n≥0,

∴n=3或n=4.

当n=3时,x2-4x+3=0,得x=1或x=3;

当n=4时,x2-4x+4=0,得x=2.

∴n=3或n=4.

答案:3或4

模拟试题

考点一命题与四种命题

1.(2013天津一中高三上学期月考)有关下列命题的说法正确的是( )

(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1则x≠1”

(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件

(C)命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”

(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题

解析:“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,即选项A错误.若x2-5x-6=0,则x=6或x=-1,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,所以选项B错误.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,所以选项C错误.命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,所以其逆否命题也是真命题,所以选D.

答案:D

2.(2012河北石家庄模拟)已知命题p:若x=-1,则向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )

(A)0 (B)2 (C)3 (D)4