用代数法解几何题举例.

用代数法解几何题举例

泰州市二中附属初中（225300）薛晓蓉

把几何问题代数化，是解决几何问题的一种重要方法。我们一般是根据几何问题中的几何条件找出其等量关系，而这种等量关系常常是几何定理的结论，如三角形的内角和定理、勾股定理、射影定理等。然后利用其等量关系，列出方程，从而得到所要求的结果。

例1、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于D ，∠ADC=130°，

那么∠CAB 的大小是多少度？

A

B C D

分析：因为要求的是∠CAB 的度数，又已知∠ADC=130°，所以要选择△ADC 的内角和等于180°的等量关系。

解：设∠CAB=x,所以∠DAC=2x ，又AB=AC ，所以∠B=∠BCA=2

1（180°-x ） 又因为DC 是∠ACB 的平分线，所以∠DCA=)180(4

1x -︒。 根据三角形的内角和等于180°可得：

2x +)180(4

1x -︒+130°=180° 所以x=20°即∠CAB=20°

例2、如图，四边形ABCD 是矩形，AD=10，DC=8，以DF 为折痕把AD 折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，求BF 的长。

A B E C D

F

分析：要求BF 的长，可把它放在Rt △BEF 中去考虑。

由题意可知，AD=DE ，AF=EF 这样，可利用勾股定理列出方程解之。 解：设BF=x, 因为△EFD 是由 Rt △AFD 以DF 为折痕折叠所得，

所以ED = AD=10，EF= AF=8- x ，

在Rt △CD 中，EC=22CD ED -=22810-=6，所以BE=4

在Rt △BEF 中，222BF BE EF +=，即2224)8(x x +=-，

解此方程得x=3，即BF 的长为3

例3、已知，在ABC 中，AB=AC=15，AD ⊥AB ，交BC 于D ，D 在BC 上， CD=7，求BC 的长。

A

B C D E

分析：通过作AE ⊥BC ，这样AE 既是Rt △ABD 中斜边BD 上的高，又是

等腰三角形ABC 底边BC 上的高和中线，从而利用射影定理、 等腰三角形的性质就能找到合适的等量关系。

解：作AE ⊥BC ，垂足为E ，则Rt △ABD ～Rt △EBA ， 所以AB

BD BE AB =即BE BD AB •=2， 因为AB=AC ，

所以BE=EC=ED+DC ，BD=BE+ED=EC+ED=DC+2ED ，

设ED=x,则15x x ++=7)(27(2），

解此方程得x=211, BC=2EC=2(7+2

11)=25。