二阶微分中值定理

二阶微分中值定理

引理3

；

那么在内至少存在一点，使

定理1 设满足：

在上连续；

在内存在偏导数；

（ⅲ）（常数），则至少存在一点，使得

证由条件知，在上取到最大值与最小值

，下面分两种情况讨论:

若，则在上必为常数，于是都有

，即内任意一点都可以作为使

成立。

若，由条件（ⅲ）可知，与至少有一个在内

一点取得，从而在点必取局部值，再由条件

及二元函数取极值的必要条件可知

成立。

内有连续的偏导数，又假定中有两个点(与并且到的直

线，则存在，，使

(

或写成

.

证考虑点，显然当时，

落在与的连线上，根据定理的假设可知，在内可

微，引入一元函数：是t的可微函数，则

另一方面，又由一元函数的拉格朗日中值定理可知，存在

一个，，使得

即

定理3 若二元函数满足：

（ⅰ）在闭域内连续；

（ⅱ）在的内部有对，对的连续偏导数；

（ⅲ）

且为内的点

可记

则有

证设(

若(

则在上满足一元函数罗尔定理的条件，存在

，使得

即

与条件（ⅲ）矛盾，

故(

作辅助函数

(

显然，在上满足一元函数罗尔定理的条件，故存在

，使得

而

则即有