二阶微分中值定理

二阶微分中值定理
引理3
；
那么在内至少存在一点，使
定理1 设满足：
在上连续；
在内存在偏导数；
（ⅲ）（常数），则至少存在一点，使得
证由条件知，在上取到最大值与最小值
，下面分两种情况讨论:
若，则在上必为常数，于是都有
，即内任意一点都可以作为使
成立。

若，由条件（ⅲ）可知，与至少有一个在内
一点取得，从而在点必取局部值，再由条件
及二元函数取极值的必要条件可知
成立。

内有连续的偏导数，又假定中有两个点(与并且到的直
线，则存在，，使
(
或写成
.
证考虑点，显然当时，
落在与的连线上，根据定理的假设可知，在内可
微，引入一元函数：是t的可微函数，则
另一方面，又由一元函数的拉格朗日中值定理可知，存在
一个，，使得
即
定理3 若二元函数满足：
（ⅰ）在闭域内连续；
（ⅱ）在的内部有对，对的连续偏导数；
（ⅲ）
且为内的点
可记
则有
证设(
若(
则在上满足一元函数罗尔定理的条件，存在
，使得
即
与条件（ⅲ）矛盾，
故(
作辅助函数
(
显然，在上满足一元函数罗尔定理的条件，故存在
，使得
而
则即有。