一元二次方程的根与系数的关系_课件
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答案：2，-1．
已知根的范围求参数范围 一正根，一负根
两个负根 两个正根
已知根的范围求参数范围 解： 由已知， 即
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围 提示：需要分类讨论
已知根的范围求参数范围
(1)求证：无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根． (2)当m取何值时，方程的一根大于1，另一根小于1？ 分析: (1) 列出△的代数式，证其恒大于零
归纳总结
两根之差的绝对值 如何利用根与系数关系求两根之差的绝对值？
已知两根构造方程 求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知两根构造方程 求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5． 提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知一根求另一根 答案：另一根是-1，m=-2．
已知一个根求另一个根 已知一元二次方程的一个根，如何求出另一个根？ 有几种求解方法？
求两根的对称式 =3
求两根的对称式 4
1 14 12
求两根的对称式 （1）7
求两根的对称式 （4）3
求两根的对称式 （6）10
归纳总结
常见的两根对称式求值
已知两根构造方程 以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为________．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
看错类问题 小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所 求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2．你 知道原来的方程是什么吗？
提示1：把精力放在没看错的系数上． 提示2：可以假设二次项系数为1．
2．一定要牢记公式．特别的，使用 注意不要把__“__-_”__漏了．
时，
练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
练习
当m=___-_1____时，此方程的两根互为相反数. 当m=____1____时，此方程的两根互为倒数.
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
总结
这节课我们学到了什么？
韦达还致力于数学研究，第一个有意识和系统地 使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数 学理论研究的重大进步．韦达讨论了方程根的各种有理 变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙 述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理” ）．
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”．
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
复习巩固 1.解下列方程：
复习巩固 2.填空：
复习巩固 3. 用配方法解下列方程：
复习巩固 4. 利用判别式判断下列方程的根的情况：
复习巩固 5. 用公式法解下列方程：
复习巩固 6. 用因式分解法解下列方程：
复习巩固 7. 求下列方程两个根的和与积：
综合运用
综合运用 9. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，
看错类问题 甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出 的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3．则 这个一元二次方程为________________
提示1：把精力放在没看错的系数上． 提示2：可以假设二次项系数为1．
已知两个数的和与积求这两个数 已知两个数的和是1，积是-2，则两个数分别是多少？ 提示：可以把这两个数看作某个一元二次方程的两根．
思考
=-p
=q
它的两根之和，两根之积 与系数a、b、c之间又有什么样的关系呢？
探究
方程 9 -6x+1=0 3 -4x-1=0 3 +7x+2=0
你能发现
-2
， 与系数之间的关系吗？
=
=
证明
根据求根公式可知：
= =
证明
根据求根公式可知：
= =
归纳
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
能直接看出 a、b、c吗？
不能，得先化为一般式
归纳 使用根与系数关系求两根之和或两根之积时需要注意什么？
1．如果方程不是一般形式，一定要先变为_一__般___形__式____．
=
=
这个关系也 叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一． 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进．
他生于法国的普瓦图．年轻时学习法律当过律师 ， 后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战 争中曾为政府破译敌军的密码．
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
这个关系也
=
=
叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
根与系数的关系 一元二次方程根与系数有什么关系？ 怎么推导出这些关系？
已知一根求另一根 提示：可以直接把根代入，也可以利用两根之积直接求另一根．
已知一根求另一根 -3
教学重点 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
教学难点 根与系数关系的应用．
知识回顾 一元二次方程的一般形式是什么？
一元二次方程的求根公式是什么？
探究
方程
-3x+2=0 2
-2x-3=0 -1
-5x+4=0
1
你能发现
1
3
2
3
2
-3
4
5
4
， 与系数之间的关系吗？
=-p
=q
思考
=-p
=q
已知对称式反求参数
答案：k=-2． 注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
根与系数的关系的应用 如何利用根与系数关系求两根平方和及其反求？ 如何利用根与系数关系求两根对称积及其反求？
两根的倒数和 如何利用根与系数关系求两根倒数和？ 已知两根倒数和如何求参数？
求两根之差的绝对值 答案：k的值为9或-3．
所有公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交 易会？
综合运用
综合运用
拓广探索
12. 一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有 18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存 在，说明得出结论的道理.
九 年 级 数 学 上册
第二十一章 一元二次方程
Baidu Nhomakorabea精品 课件
一元二次方程的根与系数的关系
人教版
初三数学
上册
第二十一章 一元二次方程
《一元二次方程的根与系数的关系》 人教版
教学目标 了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用． 在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊 到一般的认识方法．
已知根的范围求参数范围 一正根，一负根
两个负根 两个正根
已知根的范围求参数范围 解： 由已知， 即
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围 提示：需要分类讨论
已知根的范围求参数范围
(1)求证：无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根． (2)当m取何值时，方程的一根大于1，另一根小于1？ 分析: (1) 列出△的代数式，证其恒大于零
归纳总结
两根之差的绝对值 如何利用根与系数关系求两根之差的绝对值？
已知两根构造方程 求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知两根构造方程 求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5． 提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知一根求另一根 答案：另一根是-1，m=-2．
已知一个根求另一个根 已知一元二次方程的一个根，如何求出另一个根？ 有几种求解方法？
求两根的对称式 =3
求两根的对称式 4
1 14 12
求两根的对称式 （1）7
求两根的对称式 （4）3
求两根的对称式 （6）10
归纳总结
常见的两根对称式求值
已知两根构造方程 以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为________．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
看错类问题 小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所 求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2．你 知道原来的方程是什么吗？
提示1：把精力放在没看错的系数上． 提示2：可以假设二次项系数为1．
2．一定要牢记公式．特别的，使用 注意不要把__“__-_”__漏了．
时，
练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
练习
当m=___-_1____时，此方程的两根互为相反数. 当m=____1____时，此方程的两根互为倒数.
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
总结
这节课我们学到了什么？
韦达还致力于数学研究，第一个有意识和系统地 使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数 学理论研究的重大进步．韦达讨论了方程根的各种有理 变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙 述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理” ）．
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”．
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
复习巩固 1.解下列方程：
复习巩固 2.填空：
复习巩固 3. 用配方法解下列方程：
复习巩固 4. 利用判别式判断下列方程的根的情况：
复习巩固 5. 用公式法解下列方程：
复习巩固 6. 用因式分解法解下列方程：
复习巩固 7. 求下列方程两个根的和与积：
综合运用
综合运用 9. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，
看错类问题 甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出 的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3．则 这个一元二次方程为________________
提示1：把精力放在没看错的系数上． 提示2：可以假设二次项系数为1．
已知两个数的和与积求这两个数 已知两个数的和是1，积是-2，则两个数分别是多少？ 提示：可以把这两个数看作某个一元二次方程的两根．
思考
=-p
=q
它的两根之和，两根之积 与系数a、b、c之间又有什么样的关系呢？
探究
方程 9 -6x+1=0 3 -4x-1=0 3 +7x+2=0
你能发现
-2
， 与系数之间的关系吗？
=
=
证明
根据求根公式可知：
= =
证明
根据求根公式可知：
= =
归纳
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
例题
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程两根的和与积：
能直接看出 a、b、c吗？
不能，得先化为一般式
归纳 使用根与系数关系求两根之和或两根之积时需要注意什么？
1．如果方程不是一般形式，一定要先变为_一__般___形__式____．
=
=
这个关系也 叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一． 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进．
他生于法国的普瓦图．年轻时学习法律当过律师 ， 后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战 争中曾为政府破译敌军的密码．
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
这个关系也
=
=
叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
根与系数的关系 一元二次方程根与系数有什么关系？ 怎么推导出这些关系？
已知一根求另一根 提示：可以直接把根代入，也可以利用两根之积直接求另一根．
已知一根求另一根 -3
教学重点 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
教学难点 根与系数关系的应用．
知识回顾 一元二次方程的一般形式是什么？
一元二次方程的求根公式是什么？
探究
方程
-3x+2=0 2
-2x-3=0 -1
-5x+4=0
1
你能发现
1
3
2
3
2
-3
4
5
4
， 与系数之间的关系吗？
=-p
=q
思考
=-p
=q
已知对称式反求参数
答案：k=-2． 注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
根与系数的关系的应用 如何利用根与系数关系求两根平方和及其反求？ 如何利用根与系数关系求两根对称积及其反求？
两根的倒数和 如何利用根与系数关系求两根倒数和？ 已知两根倒数和如何求参数？
求两根之差的绝对值 答案：k的值为9或-3．
所有公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交 易会？
综合运用
综合运用
拓广探索
12. 一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有 18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存 在，说明得出结论的道理.
九 年 级 数 学 上册
第二十一章 一元二次方程
Baidu Nhomakorabea精品 课件
一元二次方程的根与系数的关系
人教版
初三数学
上册
第二十一章 一元二次方程
《一元二次方程的根与系数的关系》 人教版
教学目标 了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用． 在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊 到一般的认识方法．