(优选)极坐标和参数方程ppt讲解

M 在极坐标系内的位置 4
3 4
O
x
•M
4
图10-5 点M的极坐标
由此可知,在这样的规定下,对于任意一对有序实数 , ,
仍然可以在平面上确定惟一的点 M , 但是反过来,平面上任意 一点却对应着无限多对实数,它们都是这个点的极坐标.例如,
图10-5中点
M
的极坐标可以是
3,
3 4
,
3,
7 4
如图10 6所示,把直角坐标系的原点作为极点, x轴的非负 半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同单位长度.
y
M x, y
,
y
x
O
x
图10-6 直角坐标系与极坐标系的关系
设M 是平面上任意一点,它的直角坐标是 x,y , 极坐标是 , .显然可知:
x cos y sin
10 1
利用公式10 1,可以把点M的极坐标化为直角坐标.(!公
式借助图形记忆.)
例1 设点 M
的极坐标为
5,-
3
,
求它的直角坐标.
解 由公式10-1,可得 :
x
5
cos
3
5 2
,
y
5sin
3
5
3 2
.
于是得点M的直角坐标为
5 2
,
5
3 2
.我们也可以把点M的
直角坐标化为极坐标,由公式10 1变化可得 :
,
3,
3 4
,
3, 11 4
,L
.一般说来,点
M
的极坐标可以写为 3,-
4
2k
或
3,
4
2k
1
,
其中k Z ,这种点与坐标之间的非一
一对应关系是极坐标不同于直角坐标的地方.
由于-, 可用 , 来表示.因此,可将 0的情形转
化为 0的情形来处理.除非必要,一般不取负值.
2.极坐标和直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是 两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用 直角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.
记作 : M , . 当 0 时,不论 取什么值, 0, 都表示极点.当
0 时,不论 取什么正值,当 ,0 都在极轴上.
当 0, 0 2时, 对于平面上任意一点 M 除极点外,
都可以找到惟一的一对实数 , 与之对应;反过来,对于任意 一对实数 , , 也总可以在平面上找到惟一的一点 M 与之
2 x2 y2
tan y x 0
x
10 2
为了使点M 极点除外的极坐标惟一确定,一般可取 0,
0 2 .在由tan的值确定时,应该根据点M 所在的象限决 定恰当的.
例2 设点M的直角坐标为1,-1,求它的极坐标.
解 由公式10-2可得 :
12 12 2, tan 1 1.
x 11 6
图10 2 M , M , M , M 的极坐标
1
2
3
4
由于实际应用的需要,极径和极角也可以取负值.当 0 时,规定在角的终边上取点M ,使 OM ,如图10 3(a)所示;当 0时,则在角的终边的反向延长线上取点M ,使 OM ,如 图10 3(b)所示;当 0时,极轴按逆时针方向旋转;当 0时,极
这就是所给的等轴双曲线的极坐标方程.
例4 将圆x2 y2 2ax 0a 0化为极坐标方程. 解 由公式10-1,可得 :
2 cos2 2 sin2 2a cos 0
所以 2 2a cos 0, 所以 0或 2a cos 0.
因为 0表示点圆,与已知a > 0矛盾,应舍去,所以所求圆
例3 将等轴双曲线x2 y2 a2 a 0化为极坐标方程. 解 由公式10-1, 将x cos, y sin代入方程,得:
2 cos2 2 sin2 a2 , 所以 2 cos2 sin2 a2.
所以 2 cos 2 a2, 即 2 a2 . cos 2
1
因为点M 1, 1在第IV象限,所以 7 ,于是可得点M的
4
极坐标为
2,
7 4
.
二、曲线的极坐标方程
1.曲线的极坐标方程的概念 在平面上的一条曲线,在 直角坐标系中可以用含有 x 和 y 的方程来表示.同样,在极坐
标系中,曲线也可以用含有 和 的方程来表示.而且有些
曲线在直角坐标系中不容易用 x 和 y 的方程表示,但在极坐
对应.也就是说,当 和 在上述范围内取值的,平面上的点
M 除极点外与实数对 , 之间具有一一对应的关系.
例如,如图10-2所示,当
0,
0
2时,点M1和M
的极坐标
2
分别为
3,
6
和1,2
,
而极坐标为
3,
3 4
和
2,11 6
所对应的点
分别是M3和M 4.
2
3
4
M •
3
•M 2
M •
1
6
O • M4
轴按顺时针方向旋转.
M ,
O
x
0 0
O
M ,
x 0 0
图10 3 极径和极角的不同取值
例如,点M1
2,
6
,
M
2
1,
2
,
M
3
3,
3 4
,
M
4
4,
7 6
在极坐标系内的位置如图10 4所示.
3
y
4
M4
6
•
•M 2
•O
x
7
M1
•M 3
6
2
Hale Waihona Puke Baidu
图10 4 点M , M , M ,
1
2
3
一、极坐标的概念
1.平面上点的极坐标
如图10 1所示,在平面上取一定点O,从O引一条射线Ox,再
取定一个单位长度并规定角旋转的正方向(通常以逆时针方向
为正),这样就构成了一个极坐标系.O点称为极点,射线Ox称为
极轴.
M ,
•
O•
x
图10-1 极坐标系图形示意
设 M 为平面上任意一点,连接 OM , 令 OM , 表示从 Ox 到 OM 的角. 称为点 M 的极径, 称为点 M 的极角.这一对有序实数 与 , 称为点 M 的极坐标,
标系中却可简单地用 和 的方程来表示.这就要求我们在
解决具体的曲线方程问题时, 选择建立恰当的坐标系来得出方 程.为了区别这两类曲线方程,我们将曲线在直角坐标系中得出 的方程称为直角坐标方程,而在极坐标系中得出的方程称为极坐 标方程.
利用点的直角坐标与极坐标间的互化公式,可将曲线的直 角坐标方程与极坐标方程进行互化.
（优选）极坐标和参 数方程ppt讲解
第一节 极 坐 标
我们知道可以利用直角坐标系来表示平面上点的位置和 一些曲线的方程,但在有些具体问题中这并不方便.例如,雷达 兵在报告雷达发现的飞机的位置时，只需指出飞机的方向和 距离.像这种利用方向和距离来确定平面上点的位置的坐标 系就是极坐标系.本节介绍极坐标系的概念和曲线的极坐标 方程.
的极坐标方程为 2a cos a 0.