第六章 杆件的内力和内力图

M(+)
M(+)
M(–) M(–)
弯矩：向上凹为正， 向下凹为负。
截面上的弯矩使得梁段呈上凹为正；反之为负。使得梁段 上弯的力或力偶引起正的弯矩。记忆口诀：上弯弯矩正。
Ｆ Ｆ M ＲＡ ＲＢ
Ｆ
M
Ｆ
M ( +)
M(+)
要点：无论取哪一部分为研究对象，都预先假设其截面弯矩 为正（设正法），然后依据弯矩的正负（顺逆时针转向）去

Mb / l
Mx2 M l x2 M l l

a x
2
l
3.求特殊点内力值，作剪力图和弯矩图。
例6-6 悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。 q x
l FQ
解（1）任选截面x，写出剪力、弯矩方程
FQ x ＝qx
0 x l
M x ＝qx x / 2 qx 2 / 2
0 x l
ql （2）求特殊点内力值，画剪力图和弯矩图

2
FQ 0 ＝0
x
FQ l ＝ql
ql / 2 M 0＝0 M l/2 ＝ql 2 / 8 M l ＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 8

例6-4 图示简支梁C点受集中力作用，试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。 解：1．求约束反力 M A＝0， Fy 0 F
A
FAY
a
x1
C x2
l
b
B
FBY
FAy＝Fb / l FBy＝Fa / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC：
FQ
Fb / l
FQ x1 ＝Fb / l
M x1 ＝Fbx1 / l
3 2 2
ME FQE FBy
M E 2 F
a 5F 3a 3aF 2 3 2 2
F FQE FAy 2F 3
FAy FBy
a 5F 3a 3aF M E 2 F 2 3 2 2
结论:任一截面上的剪力等于截面一侧所有的外力的代数和,
FQm Fi
F
F F
F
下列哪些杆件是轴向拉压杆？
三、拉、压杆的内力——轴力FN
1、轴力FN：拉、压杆横截面上的内力
m F m FN
2、用截面法求轴力 截: 假想沿m-m横截面将杆切开 取: 取m-m截面以左段 代: 将抛掉部分对留下部分的作用用
F
内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出内力
即轴力的值
Fx 0
j
Fi 使所取杆段受拉的外力取正，受压的外力取负。
i 1
j
F F
（+） FN （-） FN
FN FN
F F
将内力随集中外力变化的规律直接用图形表达，可按以
下作图口诀直接作轴力图：拉力向上画，无力平行画，压力
向下画，最后归零。
补充题：已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；试 画出图示杆件的轴力图。
列平衡方程: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
M x - Me 0
M x Me
扭矩正负规定: 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为 正(+)，反之负(-)。
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶(从轴的一端面外法方向运用右手法则)，外力 偶和轴向外力对应，扭矩和轴力对应，可用和作轴力图完全一 致的方法作扭矩图。
FQ (x) ，M = M (x)。称为梁的剪力方程和弯矩方程。
一般，剪力方程和弯矩方程是x的分段函数，集中力、集 中力偶、分布力的起点和终点为函数分段点。
剪力、弯矩图：表示剪力、弯矩沿轴线的变化规律的图形。
F Q = F Q (x ) ， M = M (x )
建立起剪力、弯矩方程，可根据函数作图法作出剪力图 和弯矩图。
x
由剪力图、弯矩图可见，最大剪力
（4）若要求轴力的最大值，由图可知：
+
_
10 kN
FNmax=25kN。
第三节 圆轴扭转时的内力及内力图
一、实例
汽车传动轴
汽车方向盘轴
以扭转为主要变 形的杆件称为轴
丝锥攻丝
二、扭转轴的受力和变形特点： 外力偶作用在垂直于轴轴线的平面内,使轴的横截面绕轴 线产生转动，圆轴表面的直线母线变形后变为螺旋线。
三、外力偶矩的计算 1.直接计算
2.已知电机输出功率为P（kW），转速为 n（转/分钟）
P Me P M e 9550 N m n
四、扭矩和扭矩图 m m 1.扭矩Mx：轴横截面上的内力 2. 用截面法求扭矩 作截面: 假想沿m-m横截面将杆切开 取研究对象: 取m-m截面以左段或以右段 内力代替: 将去掉部分对留下部分的作 用用内力代替。（内力转化为外力）
FQ
FBy
弯矩M ，纵向对称面内 的力偶。
从上例看出，取左段和右段为研究对象，所得的剪力Q、Q'和 弯矩M、M'互为作用力与反作用力。为了让它们的正负号也相 同，特作如下规定：
3、剪力和弯矩的正负规定
从梁的变形角度看：
Q(+)
Q(+)
Q(–)
剪力：顺时针转动趋势 Q(–) 为正，逆时针时为负。
记忆口诀：顺转剪力正。
0 x1 a
0 x1 a
Fa / l
Fab / l
CB：

x
FQ x2 ＝FAY F Fa / l
a x2 l
M
Fal x2 a x2 l M x2 ＝FAY x2 F x2 a l 3.求特殊点内力值，画剪力、弯矩图。
e1
e1
M e 2 T 1 0 , T1 M e1 M e 2
T2 3）在3处假想截开，取截面左侧为研究对象， 假定内力为正，列平衡方程
M e 2 M e 3 T 1 0 T1 M e 3 M e1 M e 2 M e 4
T3
第四节 梁弯曲时的内力及内力图
10
FN2 F3
+ _
10
BC段
Fx 0
FN 2 F2 F1 0
F1
FN3 CD段 Fx 0
25
FN 2 F1 F2 10kN
FN 3 F1 F2 F3 0
FN 3 F1 F2 F3 25kN
2、绘制轴力图。
+
x
五、简易作图法 任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。 即： FN
x

M x1 0 ＝M x2 l 0


M a ＝Fab / l
例6-5 图示简支梁C点受集中力偶作用，试写出剪力和弯矩方 程，并画出剪力图和弯矩图。（与课本例题力偶方向不同） 解：1．求约束反力
a
M
b
A
FAY
x1
M /l
C x2
l
B
FBY
M ＝0 ， F
B
y
0
FN F 0
FN F
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
F
F
Fx 0
FN F
FN F 0
FN F
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆
件的轴线重合，所以称为轴力。
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
F F FN F F FN F FN FN F FN F FN
Me1 Me2
Me3
Me4
任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。
即： FN
j
Fi 使所取杆段受拉的外力取正，受压的外力取负。
i 1
j
例6-3 齿轮轴受载如图，作轴的扭矩图。 解：（1）将力偶用矢量表示
（2）根据作图口诀作图
Me1 Me2
Me3
Me4
从左端开始作图
+
从右端开始作图
判断外力矩或力偶的正负（相同时取正号，反之取负号）， 列弯矩的平衡方程。
补充题：求图示简支梁E 截面的内力。 1. 确定反力 解：
M F
y
A
0 FBy 3a Fa 2F a 0
FAy
A
FAy
0 FAy FBy 2F 0 F 5F FBy FBy FAy 3 3 2. 用截面法研究内力 5F 0 Fy 0 2 F FQE 3 ME E F FQE FAy 2F FQE 3 5F 3a a 2 F ME 0 M 0 E
A F1
10 kN
1 B 1 F2
2 C
25 kN
3D 3 +
解：取基线平行于杆的中心线
2
F3
F4 （1）从杆的左端开始作图
（2）从杆的右端开始作图
+
10 kN
_
25 kN
（3）若要求1-1、2-2、3-3截面上的内
力，先作出轴力图，由图可知：
10 kN
+
FN1=10kN，FN2=-10kN， FN3=25kN
第六章 杆件的内力和内力图
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图 第二节 圆轴扭转时的内力及内力图 第三节 梁弯曲时的内力及内力图
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力和内力图
一、实例
A
C
B
F
以拉、压为主要变形的构件称为杆
二、拉压杆的受力和变形特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形 是沿轴线方向的伸长或缩短。 杆的受力简图为 拉伸 压缩
F 在截面附近取微段 FN F
注意
+
FN FN _ FN
F
为使从平衡方程中求得的内力的符 号和规定的内力正负号一致，可将 内力一律设为正。无论哪种基本变 形，都这样处理。
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线的变化规律的图形。
F
FN
F
F
+
x
取x轴平行于杆件轴线（基线），一般，正的轴力画在基
线的上侧，负的轴力画在x轴线下方。
i1
j
向上的外力起正剪力，向下的外力引起负剪力。
任一截面上的弯矩等于截面一侧所有的外力对截面上一点 之矩以及力偶矩的代数和。
向上外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯 M m M O ( Fi ) 矩，顺时针的力偶引起正弯矩，逆时针的力 i1 引起负弯矩。
j
使用前提：必须取截面左侧为研究对象。强烈建议大家这样做！
FB 3ql
（2）求C截面上的剪力和弯矩。
FQC FB 2ql ql M C FB 2l q 2l 2 4ql 2
六、剪力和弯矩方程，剪力、弯矩图
x
4l
x
以横坐标x（机械专业约定：坐标原点取在杆的最左端截面 的形心上，不许建立局部坐标系）表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上剪力和弯矩都可表示为x的函数， FQ =
一、实例
起重机大梁
火车轮轴
以弯曲为主要 变形的杆称为梁
0
车削工件
二、平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
常见平面弯曲构件截面
三、梁的受力和变形特点： 梁上的外力作用线垂直于梁的中心线，外力偶作 用在梁的纵向对称面内。平面弯曲梁的中心线变形 后在纵向对称面内弯成连续光滑的挠曲线。
_
1
2
3
或者分段应用截面法求解如下： 1）在1处假想截开，取截面左侧为研 究对象，假定内力为正，列平衡方程
M ( F ) 0, M
T1
e1
T 1 0 , T1 M e1
2）在2处假想截开，取截面左侧为研究对象， 假定内力为正，列平衡方程
M ( F ) 0, M
M ( F ) 0, M
例6-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示 杆件的轴力图。 1 2 C 2 3 D 解：1、计算各段的轴力。
A F1 F1 F1
FN kN
B
1 F2
F3 3
F4 AB段 Fx 0
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
FN1 F2 F2
四、简单梁的基本形式 简支梁 吊车大梁简化 外伸梁
火车轮轴简化
悬臂梁 车削工件简化
百度文库
五、梁的内力--剪力和弯矩
M F N FAy FN M FQ
F
x
y
0
FN 0
Q Ay
F 0 F F M (F ) 0 M F
C
F1
x F1 ( x a)
Ay
剪力FQ ，和横截面相切。
FAy＝M / l
AC：
FBy＝ -M / l
FBy
2．写出剪力和弯矩方程

Ma / l
M x1 ＝Mx1 / l
CB： FQ x2 ＝M / l
M x2 ＝FAy x2 M
FQ x1 ＝M / l
0 x1 a 0 x2 b
0 x1 a
例6-3 已知F = 2ql，M = 2ql2，求图示简支梁跨中截面C上的 剪力和弯矩。
4l
解:（1）求支座反力。由平衡方程
M（ 0 B F） FA 4l M F 3l q 4l 2l 0 FA 3ql
Fy 0
FA FB F 4ql 0