数学建模五步法与灵敏度分析

灵敏度分析

简介：

研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

用途：

主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。

举例（建模五步法）：

一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。

建立数学模型的五个步骤：

1.提出问题

2.选择建模方法

3.推到模型的数学表达式

4.求解模型

5.回答问题

第一步：提出问题

将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P （美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。

（建议先写显而易见的部分）

猪从200磅按每天5磅增加

（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）

饲养每天花费45美分

（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）

价格65美分按每天1美分下降

（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）

生猪收益

（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）

净利润

（P美元）=（R美元）-（C美元）

用数学语言总结和表达如下：

参数设定：

t=时间（天）

w=猪的重量（磅）

p=猪的价格（美元/磅）

C=饲养t天的花费（美元）

R=出售猪的收益（美元）

P=净收益（美元）

假设：

w=200+5t

C=0.45t

p=0.65-0.01t

R=p*w

P=R-C

t>=0

目标：求P的最大值

第二步：选择建模方法

本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题

第三步：推导模型的数学表达式子

P=R-C （1）

R=p*w （2）

C=0.45t （3）

得到R=p*w-0.45t

p=0.65-0.01t （4）

w=200+5t （5）

得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t

令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：

y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）

第四步：求解模型

用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。

第五步：回答问题

根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。

数学建模五步方法总结：

第一步：提出问题

（1）列出问题中涉及的变量，包括适当的单位；

（2）注意不要混淆变量和常量；

（3）列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式；

（4）检查单位从而保证你的假设有意义；

（5）用准确的数学术语给出问题的目标。

第二步：选择建模方法

（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；

（2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟悉相关文献。

第三步：推导模型的数学表达式

（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；

（3）记下任何补充假设，这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。

第四步：求解模型

（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导，检查是否有错误，你的答案是否有意义；

（3）采用适当的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能

扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误。

第五步：回答问题

（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；

（2）避免数学符号和术语；

（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案。

灵敏度分析

数据是由测量，观察有时甚至完全猜测得到的，因此，我们要考虑数据不准确的可能性。

上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。但是猪的生长率则不那么确定，而价格的下降率则确定性更低，记r为价格的下降率，现在假设r的实际值不同，对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。下表给出了几个不同r值求出的计算结果。根据表格绘制图形，我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感。

r（美元/天）x（天）

0.008 15.0

0.009 11.1

0.010 8.0

0.011 5.5

0.012 3.3

对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=0.65-rt。得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。使得导数为0，得到x=（7-500r）/25r，当x>=0时，只要0

对于猪的生长率g同样不确定，我们有w=200+gt，得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+gx）-0.45x。使得导数为0，得到x=5*(13g-49)/2g。当x>=0时，得到g>=3.769。

我们将灵敏度数据用相对改变量表示，例如：r下降10%导致了x增加了39%，而g下降了10%导致了x下降了34%。